Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| {{z}^{2}}+2z+2 \right|=\left| z+1-i \right|$. Giá trị lớn nhất của $\left| z \right|$ bằng
A. $2\sqrt{2}-1$
B. $\sqrt{2}-1$
C. $\sqrt{2}+1$
D. $\sqrt{2}$
A. $2\sqrt{2}-1$
B. $\sqrt{2}-1$
C. $\sqrt{2}+1$
D. $\sqrt{2}$
$\left| {{z}^{2}}+2z+2 \right|=\left| z+1-i \right|$ $\Leftrightarrow \left| z+1+i \right|.\left| z+1-i \right|=\left| z+1-i \right|$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=-1+i \left( 1 \right) \\
& \left| z+1+i \right|=1 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Với $\left( 1 \right)$, ta có $\left| z \right|=\sqrt{2} \left( 3 \right)$.
Với $\left( 2 \right)$ : Gọi $M, I$ lần lượt là điểm biểu diễn $z$ và $-1-i$. Khi đó: $I\left( -1 ; -1 \right)$ và $\left( 2 \right)\Leftrightarrow IM=1$. Suy ra, quỹ tích điểm $M$ là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I$, bán kính $R=1$. Do đó, $\text{max}\left| z \right|=\underset{M\in \left( C \right)}{\mathop{\text{max}}} OM=OI+R=1+\sqrt{2} \left( 4 \right)$.
Vậy từ $\left( 3 \right), \left( 4 \right)$ ta có: Giá trị lớn nhất của $\left| z \right|$ bằng $\sqrt{2}+1$.
& z=-1+i \left( 1 \right) \\
& \left| z+1+i \right|=1 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Với $\left( 1 \right)$, ta có $\left| z \right|=\sqrt{2} \left( 3 \right)$.
Với $\left( 2 \right)$ : Gọi $M, I$ lần lượt là điểm biểu diễn $z$ và $-1-i$. Khi đó: $I\left( -1 ; -1 \right)$ và $\left( 2 \right)\Leftrightarrow IM=1$. Suy ra, quỹ tích điểm $M$ là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I$, bán kính $R=1$. Do đó, $\text{max}\left| z \right|=\underset{M\in \left( C \right)}{\mathop{\text{max}}} OM=OI+R=1+\sqrt{2} \left( 4 \right)$.
Vậy từ $\left( 3 \right), \left( 4 \right)$ ta có: Giá trị lớn nhất của $\left| z \right|$ bằng $\sqrt{2}+1$.
Đáp án C.