Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\dfrac{z-7}{z+2}=z+3$ và có phần ảo âm. Số phức $\dfrac{i-z}{2z+3i}$ có môđun bằng
A. $\dfrac{2}{5}$.
B. $2\sqrt{5}$.
C. $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
D. $\sqrt{13}$.
A. $\dfrac{2}{5}$.
B. $2\sqrt{5}$.
C. $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
D. $\sqrt{13}$.
Đặt $z=a+bi$ (với $a,b\in \mathbb{R}$ và $b<0$ ).
Ta có: $\dfrac{z-7}{z+2}=z+3\Leftrightarrow z-7={{z}^{2}}+5z+6$ (Điều kiện: $z\ne -2$ ) $\Leftrightarrow -4z-13={{z}^{2}}$
$\Leftrightarrow -4\left( a+bi \right)-13={{\left( a+bi \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -4a-13={{a}^{2}}-{{b}^{2}} \\
& -4b=2ab \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=-3 \\
& a=-2 \\
\end{aligned} \right.$ (nhận).
Từ đó: $\left| \dfrac{i-\left( -2-3i \right)}{2\left( -2-3i \right)+3i} \right|=\left| \dfrac{2+4i}{-4-3i} \right|=\left| -\dfrac{4}{5}-\dfrac{2}{5}i \right|=\sqrt{{{\left( -\dfrac{4}{5} \right)}^{2}}+{{\left( -\dfrac{2}{5} \right)}^{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
Ta có: $\dfrac{z-7}{z+2}=z+3\Leftrightarrow z-7={{z}^{2}}+5z+6$ (Điều kiện: $z\ne -2$ ) $\Leftrightarrow -4z-13={{z}^{2}}$
$\Leftrightarrow -4\left( a+bi \right)-13={{\left( a+bi \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -4a-13={{a}^{2}}-{{b}^{2}} \\
& -4b=2ab \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=-3 \\
& a=-2 \\
\end{aligned} \right.$ (nhận).
Từ đó: $\left| \dfrac{i-\left( -2-3i \right)}{2\left( -2-3i \right)+3i} \right|=\left| \dfrac{2+4i}{-4-3i} \right|=\left| -\dfrac{4}{5}-\dfrac{2}{5}i \right|=\sqrt{{{\left( -\dfrac{4}{5} \right)}^{2}}+{{\left( -\dfrac{2}{5} \right)}^{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
Đáp án C.