Cho số phức $z$ thỏa mãn $\dfrac{1-i}{z}$ là số thuần ảo và...

Cách 1: Phương pháp hình học
Gọi
là số thuần ảo Khi đó thuộc đường thẳng
Ta có với là đường tròn tâm (với thì không thỏa đề)
Khi đó, yêu cầu bài toán có 2 trường hợp: (xem hình vẽ)
TH1: tiếp xúc với tại 1 điểm khác gốc tọa độ .
TH2: cắt tại 2 điểm phân biệt, trong đó có 1 điểm là gốc tọa độ .
Vậy có giá trị của thỏa mãn bài toán là và

Cách 2: Phương pháp đại số
Gọi
là số thuần ảo Khi đó , với .
Ta có
Có đúng một số phức thỏa mãn bài toán Phương trình (*) có nghiệm duy nhất .
Trường hợp 1: (*) có nghiệm kép khác
Trường hợp 2: (*) có một nghiệm và một nghiệm . Thay vào phương trình ta có:
. Ta thấy thỏa mãn vì khi đó ta có ; .
Vậy có giá trị của thỏa mãn bài toán là và .