Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $5\left| z-i \right|=\left| z+1-3i \right|+3\left| z-1+i \right|.$ Giá trị lớn nhất của $\left| z-2+3i \right|$ bằng
A. $M=\dfrac{10}{3}.$
B. $M=1+\sqrt{13}.$
C. $M=4\sqrt{5}.$
D. $M=9.$
A. $M=\dfrac{10}{3}.$
B. $M=1+\sqrt{13}.$
C. $M=4\sqrt{5}.$
D. $M=9.$
Gọi $A\left( -1;3 \right),B\left( 1;-1 \right),C\left( 0;1 \right)\Rightarrow C$ là trung điểm của AB.
$\Rightarrow M{{C}^{2}}=\dfrac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}\Leftrightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{C}^{2}}+10$ với $M\left( z \right)=\left( x;y \right).$
Ta có $5MC=MA+3MB\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{3}^{2}} \right)\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}=\sqrt{10\left( 2M{{C}^{2}}+10 \right)}\Leftrightarrow MC\le 2\sqrt{5}.$
Khi đó $\left| z-2+3i \right|=\left| z-i+\left( -2+4i \right) \right|\le \left| z-i \right|+\left| -2+4i \right|=MC+2\sqrt{5}\le 4\sqrt{5}.$ Chọn C
$\Rightarrow M{{C}^{2}}=\dfrac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}\Leftrightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{C}^{2}}+10$ với $M\left( z \right)=\left( x;y \right).$
Ta có $5MC=MA+3MB\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{3}^{2}} \right)\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}=\sqrt{10\left( 2M{{C}^{2}}+10 \right)}\Leftrightarrow MC\le 2\sqrt{5}.$
Khi đó $\left| z-2+3i \right|=\left| z-i+\left( -2+4i \right) \right|\le \left| z-i \right|+\left| -2+4i \right|=MC+2\sqrt{5}\le 4\sqrt{5}.$ Chọn C
Đáp án C.