Cho số phức z thỏa mãn $5\left| z-i \right|=\left| z+1-3i...

Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right).$ Khi đó $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức z.
Ta có $5\left| z-i \right|=\left| z+1-3i \right|+3\left| z-1+i \right|$
$\Leftrightarrow 5\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}}+3\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow 5\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}\le 10.\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow 25\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}\le 10.\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\le 20\Leftrightarrow \left| z-i \right|\le 2\sqrt{5}.$
Khi đó $P=\left| z-3+4i \right|=\left| (z-i)+\left( -3+5i \right) \right|\le \left| z-i \right|+\left| -3+5i \right|=2\sqrt{5}+\sqrt{34}.$
Chú ý: $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|,$ đẳng thức xảy ra khi ${{z}_{1}}=k.{{z}_{2}}\left( k\ge 0 \right).$
Vậy ${{P}_{\max }}=2\sqrt{5}+\sqrt{34}.$
Cách khác
Ta có ${{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\le 20$ tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một hình tròn (kể cả biên) tâm $I\left( 0;1 \right)$ bán kính $R=2\sqrt{5}.$
Đặt $A\left( 3;-4 \right).$ Khi đó $P=\left| z-3+4i \right|=MA.$ Như vậy ${{P}_{\text{max}}}\Leftrightarrow M{{A}_{\text{max}\text{.}}}$
Dựa vào hình vẽ ta thấy $M{{A}_{\text{max}\text{.}}}\Leftrightarrow MA=AI+I{{M}_{1}}=AI+R=\sqrt{34}+2\sqrt{5}.$
Vậy ${{P}_{\text{max}\text{.}}}=\sqrt{34}+2\sqrt{5}.$