Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa $\left| z \right|=1$. Gọi $m$, $M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left| {{z}^{5}}+{{{\bar{z}}}^{3}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|$. Tính $M-m$.
A. $m=-4$, $n=3$.
B. $m=4$, $n=3$
C. $m=-4$, $n=4$.
D. $m=4$, $n=-4$.
A. $m=-4$, $n=3$.
B. $m=4$, $n=3$
C. $m=-4$, $n=4$.
D. $m=4$, $n=-4$.
Vì $\left| z \right|=1$ và $z.\bar{z}={{\left| z \right|}^{2}}$ nên ta có $\bar{z}=\dfrac{1}{z}$.
Từ đó, $P=\left| {{z}^{5}}+{{{\bar{z}}}^{3}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|$ $=\left| z \right|\left| {{z}^{4}}+{{{\bar{z}}}^{4}}+6 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|$ $=\left| {{z}^{4}}+{{{\bar{z}}}^{4}}+6 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|$.
Đặt ${{z}^{4}}=x+iy$, với $x, y\in \mathbb{R}$. Do $\left| z \right|=1$ nên $\left| {{z}^{4}} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=1$ và $-1\le x, y\le 1$.
Khi đó $P=\left| x+iy+x-iy+6 \right|-2\left| x+iy+1 \right|$ $=\left| 2x+6 \right|-2\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$
$=2x+6-2\sqrt{2x+2}$ $={{\left( \sqrt{2x+2}-1 \right)}^{2}}+3$.
Do đó $P\ge 3$. Lại có $-1\le x\le 1$ $\Rightarrow 0\le \sqrt{2x+2}\le 2$ $\Rightarrow -1\le \sqrt{2x+2}-1\le 1$ $\Rightarrow P\le 4$.
Vậy $M=4$ khi ${{z}^{4}}=\pm 1$ và $m=3$ khi ${{z}^{4}}=-\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$. Suy ra $M-m=1$.
Từ đó, $P=\left| {{z}^{5}}+{{{\bar{z}}}^{3}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|$ $=\left| z \right|\left| {{z}^{4}}+{{{\bar{z}}}^{4}}+6 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|$ $=\left| {{z}^{4}}+{{{\bar{z}}}^{4}}+6 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|$.
Đặt ${{z}^{4}}=x+iy$, với $x, y\in \mathbb{R}$. Do $\left| z \right|=1$ nên $\left| {{z}^{4}} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=1$ và $-1\le x, y\le 1$.
Khi đó $P=\left| x+iy+x-iy+6 \right|-2\left| x+iy+1 \right|$ $=\left| 2x+6 \right|-2\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$
$=2x+6-2\sqrt{2x+2}$ $={{\left( \sqrt{2x+2}-1 \right)}^{2}}+3$.
Do đó $P\ge 3$. Lại có $-1\le x\le 1$ $\Rightarrow 0\le \sqrt{2x+2}\le 2$ $\Rightarrow -1\le \sqrt{2x+2}-1\le 1$ $\Rightarrow P\le 4$.
Vậy $M=4$ khi ${{z}^{4}}=\pm 1$ và $m=3$ khi ${{z}^{4}}=-\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$. Suy ra $M-m=1$.
Đáp án A.