Google
Câu hỏi: Cho số phức $z={{\left( \dfrac{2+6i}{3-i} \right)}^{m}},m$ nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị $m\in \left[ 1;50 \right]$ để z là số thuần ảo?
A. 24.
B. 25.
C. 50.
D. 0.
A. 24.
B. 25.
C. 50.
D. 0.
Ta có $\dfrac{2+6i}{3-i}=\dfrac{\left( 2+6i \right)\left( 3+i \right)}{\left( 3-i \right)\left( 3+i \right)}=\dfrac{6+2i+18i+6{{i}^{2}}}{9-{{i}^{2}}}=\dfrac{6+20i-6}{9+1}=\dfrac{20i}{10}=2i.$
(Có thể sử dụng MTCT để tính giá trị của z).
Do đó $z={{\left( \dfrac{2+6i}{3-i} \right)}^{m}}={{\left( 2i \right)}^{m}}={{2}^{m}}.{{i}^{m}}.$
Mà với mọi $k\in \mathbb{N}:\ {{i}^{2k}}={{\left( {{i}^{2}} \right)}^{k}}={{\left( -1 \right)}^{k}}\in \mathbb{R};\ {{i}^{2k+1}}={{i}^{2k}}.i={{\left( -1 \right)}^{k}}i$ là số thuần ảo.
Vậy z là số thuần ảo khi và chỉ khi $m=2k+1,\ k\in \mathbb{N}.$
Trên đoạn $\left[ 1;50 \right]$ có $\dfrac{49-1}{2}+1=25$ số lẻ.
Vậy có 25 giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
(Có thể sử dụng MTCT để tính giá trị của z).
Do đó $z={{\left( \dfrac{2+6i}{3-i} \right)}^{m}}={{\left( 2i \right)}^{m}}={{2}^{m}}.{{i}^{m}}.$
Mà với mọi $k\in \mathbb{N}:\ {{i}^{2k}}={{\left( {{i}^{2}} \right)}^{k}}={{\left( -1 \right)}^{k}}\in \mathbb{R};\ {{i}^{2k+1}}={{i}^{2k}}.i={{\left( -1 \right)}^{k}}i$ là số thuần ảo.
Vậy z là số thuần ảo khi và chỉ khi $m=2k+1,\ k\in \mathbb{N}.$
Trên đoạn $\left[ 1;50 \right]$ có $\dfrac{49-1}{2}+1=25$ số lẻ.
Vậy có 25 giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đáp án B.