Google
Câu hỏi: Cho số phức ${z}$ có phần ảo dương thoả mãn ${z=1}$ và biểu thức ${P=1+z+21-z}$ đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của biểu thức $Q=\left| z+\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{5}i \right|$ bằng
A. ${0}$.
B. ${2}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$.
D. $\dfrac{6}{5}$.
A. ${0}$.
B. ${2}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$.
D. $\dfrac{6}{5}$.
Giả sử $z=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R},b>0 \right)$.
Ta có $\left| z \right|=1\Rightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1$.
Do đó $P=\left| 1+z \right|+2\left| 1-z \right|=\sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+2\sqrt{{{\left( 1-a \right)}^{2}}+{{\left( -b \right)}^{2}}}=\sqrt{2a+2}+2\sqrt{2-2a}$.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxkopki ta có
$P=\sqrt{2a+2}+2\sqrt{2-2a}\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left( 2a+2+2-2a \right)}=2\sqrt{5}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{2a+2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2-2a}\Leftrightarrow 4\left( 2a+2 \right)=2-2a\Leftrightarrow a=-\dfrac{3}{5}$.
Mà ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1\Rightarrow {{b}^{2}}=\dfrac{16}{25}\Rightarrow b=\dfrac{4}{5}$ (do $b>0$ ).
Suy ra $z=-\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}i$. Vậy $Q=\left| z+\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{5}i \right|=\left| -\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}i+\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{5}i \right|=\left| 2i \right|=2$.
Ta có $\left| z \right|=1\Rightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1$.
Do đó $P=\left| 1+z \right|+2\left| 1-z \right|=\sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+2\sqrt{{{\left( 1-a \right)}^{2}}+{{\left( -b \right)}^{2}}}=\sqrt{2a+2}+2\sqrt{2-2a}$.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxkopki ta có
$P=\sqrt{2a+2}+2\sqrt{2-2a}\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left( 2a+2+2-2a \right)}=2\sqrt{5}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{2a+2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2-2a}\Leftrightarrow 4\left( 2a+2 \right)=2-2a\Leftrightarrow a=-\dfrac{3}{5}$.
Mà ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1\Rightarrow {{b}^{2}}=\dfrac{16}{25}\Rightarrow b=\dfrac{4}{5}$ (do $b>0$ ).
Suy ra $z=-\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}i$. Vậy $Q=\left| z+\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{5}i \right|=\left| -\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}i+\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{5}i \right|=\left| 2i \right|=2$.
Đáp án B.