Cho số phức $z=a+bi$ $\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn...

Ta có $z+2+i-\left| z \right|\left( 1+i \right)=0\Leftrightarrow \left( a+2 \right)+\left( b+1 \right)i=\left| z \right|+i\left| z \right|$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+2=\left| z \right| \\
& b+1=\left| z \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+2=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\left( 1 \right) \\
& b+1=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được $a-b+1=0\Leftrightarrow b=a+1.$ Thay vào (1) ta được
$a+2=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a+1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+2>1 \left( do \left| z \right|>1 \right) \\
& {{a}^{2}}-2a-3=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a=3. $ Suy ra $ b=4.$
Do đó $z=3+4i$ có $\left| z \right|=5>1$ (thỏa điều kiện $\left| z \right|>1$ ). Vậy $P=a+b=3+4=7.$