Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\dfrac{\left| z-3+4i \right|+1}{3\left| z-3+4i \right|-3}=\dfrac{1}{2}$ và môđun $\left| z \right|$ lớn nhất. Tổng $a+b$ bằng
A. 2
B. –1
C. –2
D. 1
Cách 1: (Phương pháp hình học)
Ta có $\dfrac{\left| z-3+4i \right|+1}{3\left| z-3+4i \right|-3}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2\left| z-3+4i \right|+2=3\left| z-3+4i \right|-3\Leftrightarrow \left| z-3+4i \right|=5$
Vậy điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn (C) tâm $I\left( 3;-4 \right)$ và bán kính $R=5$. Dễ thấy (C) đi qua gốc tọa độ O.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tâm I. $\Delta $ cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai M. Khi đó ta có $OM=\left| z \right|$
Phương trình đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=25$ ; Phương trình đường thẳng $\Delta :4x+3y=0$
Giải hệ: $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=25 \\
& 4x+3y=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.\vee \left\{ \begin{aligned}
& x=6 \\
& y=-8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M=\left( 6;-8 \right)$
Vậy số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là $z=6-8i$
Do đó $a=6;b=-8\Rightarrow S=a+b=-2$
Cách 2: (Phương pháp đối số)
Ta có $\dfrac{\left| z-3+4i \right|+1}{3\left| z-3+4i \right|-3}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2\left| z-3+4i \right|+2=3\left| z-3+4i \right|-3\Leftrightarrow \left| z-3+4i \right|=5$
Do đó $\left| z \right|=\left| z-\left( 3-4i \right)+3-4i \right|\le \left| z-3+4i \right|+\left| 3-4i \right|=5+5=10$
Dấu "=" xảy ra khi $z-\left( 3-4i \right)=3-4i\Leftrightarrow z=6-8i$
Vậy số phức thảo mãn yêu cầu bài toán là $z=6-8i$
Do đó $a=6;b=-8\Rightarrow S=a+b=-2$
Cách 3: (Phương pháp đại số)
Ta có $\dfrac{\left| z-3+4i \right|+1}{3\left| z-3+4i \right|-3}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2\left| z-3+4i \right|+2=3\left| z-3+4i \right|-3\Leftrightarrow \left| z-3+4i \right|=5$
Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$. Ta có $\left| z-3+4i \right|=5\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=25$
Ta có $\sqrt{{{\left( a+x \right)}^{2}}+{{\left( b+y \right)}^{2}}}\le \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ với mọi số thực x, y, a, b.
Đẳng thức xảy ra khi $ay=bx$
Áp dụng: $\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-3+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+4-4 \right)}^{2}}}\le \sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}=5+5=10$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+\left( y+4 \right)=25 \\
& -4\left( x-3 \right)=3\left( y+4 \right) \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=100 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=6 \\
& y=-8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow z=6-8i$
Vậy số phức thảo mãn yêu cầu bài toán là $z=6-8i$
Do đó $a=6;b=-8\Rightarrow S=a+b=-2$
Nhận xét: Rõ ràng trong 3 cách, cách thứ 2 dễ thực hiện nhất.
A. 2
B. –1
C. –2
D. 1
Cách 1: (Phương pháp hình học)
Ta có $\dfrac{\left| z-3+4i \right|+1}{3\left| z-3+4i \right|-3}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2\left| z-3+4i \right|+2=3\left| z-3+4i \right|-3\Leftrightarrow \left| z-3+4i \right|=5$
Vậy điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn (C) tâm $I\left( 3;-4 \right)$ và bán kính $R=5$. Dễ thấy (C) đi qua gốc tọa độ O.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tâm I. $\Delta $ cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai M. Khi đó ta có $OM=\left| z \right|$
Phương trình đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=25$ ; Phương trình đường thẳng $\Delta :4x+3y=0$
Giải hệ: $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=25 \\
& 4x+3y=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.\vee \left\{ \begin{aligned}
& x=6 \\
& y=-8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M=\left( 6;-8 \right)$
Vậy số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là $z=6-8i$
Do đó $a=6;b=-8\Rightarrow S=a+b=-2$
Cách 2: (Phương pháp đối số)
Ta có $\dfrac{\left| z-3+4i \right|+1}{3\left| z-3+4i \right|-3}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2\left| z-3+4i \right|+2=3\left| z-3+4i \right|-3\Leftrightarrow \left| z-3+4i \right|=5$
Do đó $\left| z \right|=\left| z-\left( 3-4i \right)+3-4i \right|\le \left| z-3+4i \right|+\left| 3-4i \right|=5+5=10$
Dấu "=" xảy ra khi $z-\left( 3-4i \right)=3-4i\Leftrightarrow z=6-8i$
Vậy số phức thảo mãn yêu cầu bài toán là $z=6-8i$
Do đó $a=6;b=-8\Rightarrow S=a+b=-2$
Cách 3: (Phương pháp đại số)
Ta có $\dfrac{\left| z-3+4i \right|+1}{3\left| z-3+4i \right|-3}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2\left| z-3+4i \right|+2=3\left| z-3+4i \right|-3\Leftrightarrow \left| z-3+4i \right|=5$
Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$. Ta có $\left| z-3+4i \right|=5\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=25$
Ta có $\sqrt{{{\left( a+x \right)}^{2}}+{{\left( b+y \right)}^{2}}}\le \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ với mọi số thực x, y, a, b.
Đẳng thức xảy ra khi $ay=bx$
Áp dụng: $\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-3+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+4-4 \right)}^{2}}}\le \sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}=5+5=10$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+\left( y+4 \right)=25 \\
& -4\left( x-3 \right)=3\left( y+4 \right) \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=100 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=6 \\
& y=-8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow z=6-8i$
Vậy số phức thảo mãn yêu cầu bài toán là $z=6-8i$
Do đó $a=6;b=-8\Rightarrow S=a+b=-2$
Nhận xét: Rõ ràng trong 3 cách, cách thứ 2 dễ thực hiện nhất.
Đáp án C.