Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=a+bi$ ( $a$, $b$ $\in \mathbb{R}$ ) thỏa mãn $\left| z \right|=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=\left| z+2 \right|+2\left| z-2 \right|$.
A. $10\sqrt{2}$.
B. $7$.
C. $10$.
D. $5\sqrt{2}$.
A. $10\sqrt{2}$.
B. $7$.
C. $10$.
D. $5\sqrt{2}$.
Ta có: ${{\left| z+2 \right|}^{2}}={{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}$ ; ${{\left| z-2 \right|}^{2}}={{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}$.
Suy ra: ${{\left| z+2 \right|}^{2}}+{{\left| z-2 \right|}^{2}}$ $=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+8$ $=2{{\left| z \right|}^{2}}+8$ $=10$.
Ta có: ${{A}^{2}}={{\left( \left| z+2 \right|+2\left| z-2 \right| \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left( {{\left| z+2 \right|}^{2}}+{{\left| z-2 \right|}^{2}} \right)=50$.
Vì $A\ge 0$ nên từ đó suy ra $A\le \sqrt{50}=5\sqrt{2}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là $5\sqrt{2}$.
Suy ra: ${{\left| z+2 \right|}^{2}}+{{\left| z-2 \right|}^{2}}$ $=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+8$ $=2{{\left| z \right|}^{2}}+8$ $=10$.
Ta có: ${{A}^{2}}={{\left( \left| z+2 \right|+2\left| z-2 \right| \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left( {{\left| z+2 \right|}^{2}}+{{\left| z-2 \right|}^{2}} \right)=50$.
Vì $A\ge 0$ nên từ đó suy ra $A\le \sqrt{50}=5\sqrt{2}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là $5\sqrt{2}$.
Đáp án D.