Google
Câu hỏi: Cho số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|=1$ và ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0$. Tính $A=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}$.
A. $A=1$.
B. $A=1+i$.
C. $A=-1$.
D. $A=0$.
A. $A=1$.
B. $A=1+i$.
C. $A=-1$.
D. $A=0$.
Cách 1: Chọn ${{z}_{1}}=1,{{z}_{2}}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i,{{z}_{3}}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|=1$ và ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0$. Khi đó $A={{1}^{2}}+{{\left( -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)}^{2}}+{{\left( -\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)}^{2}}=0$.
Cách 2: Ta có: $z.\overline{z}={{\left| z \right|}^{2}}$. Do đó nếu $\left| z \right|=1$ thì $z.\overline{z}=1\Rightarrow z=\dfrac{1}{\overline{z}}$.
Vậy ta có ${{z}_{1}}=\dfrac{1}{\overline{{{z}_{1}}}};{{z}_{2}}=\dfrac{1}{\overline{{{z}_{2}}}};{{z}_{3}}=\dfrac{1}{\overline{{{z}_{3}}}}$.
Khi đó $A=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right)}^{2}}-2\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}} \right)$
$=0-2\left( \dfrac{1}{\overline{{{z}_{1}}}\overline{{{z}_{2}}}}+\dfrac{1}{\overline{{{z}_{2}}}\overline{{{z}_{3}}}}+\dfrac{1}{\overline{{{z}_{3}}}\overline{{{z}_{1}}}} \right)=-2\dfrac{\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{3}}}}{\overline{{{z}_{1}}}\overline{{{z}_{2}}}\overline{{{z}_{3}}}}=-2\dfrac{\overline{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}}}{\overline{{{z}_{1}}}\overline{{{z}_{2}}}\overline{{{z}_{3}}}}=-2.0=0$.
Cách 2: Ta có: $z.\overline{z}={{\left| z \right|}^{2}}$. Do đó nếu $\left| z \right|=1$ thì $z.\overline{z}=1\Rightarrow z=\dfrac{1}{\overline{z}}$.
Vậy ta có ${{z}_{1}}=\dfrac{1}{\overline{{{z}_{1}}}};{{z}_{2}}=\dfrac{1}{\overline{{{z}_{2}}}};{{z}_{3}}=\dfrac{1}{\overline{{{z}_{3}}}}$.
Khi đó $A=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right)}^{2}}-2\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}} \right)$
$=0-2\left( \dfrac{1}{\overline{{{z}_{1}}}\overline{{{z}_{2}}}}+\dfrac{1}{\overline{{{z}_{2}}}\overline{{{z}_{3}}}}+\dfrac{1}{\overline{{{z}_{3}}}\overline{{{z}_{1}}}} \right)=-2\dfrac{\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{3}}}}{\overline{{{z}_{1}}}\overline{{{z}_{2}}}\overline{{{z}_{3}}}}=-2\dfrac{\overline{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}}}{\overline{{{z}_{1}}}\overline{{{z}_{2}}}\overline{{{z}_{3}}}}=-2.0=0$.
Đáp án D.