Google
Câu hỏi: Cho số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=1$ và $\overline{{{z}_{2}}}\left( {{z}_{2}}-1+i \right)-6i+2$ là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}-\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)$.
A. $18-6\sqrt{2}$.
B. $3-\sqrt{2}$.
C. $18+6\sqrt{2}$.
D. $18-9\sqrt{2}$.
A. $18-6\sqrt{2}$.
B. $3-\sqrt{2}$.
C. $18+6\sqrt{2}$.
D. $18-9\sqrt{2}$.
Đặt ${{z}_{2}}=x+yi, \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$, ta có : $\overline{{{z}_{2}}}\left( {{z}_{2}}-1+i \right)-6i+2={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x+y+2+\left( x+y-6 \right)i$
Vì $\overline{{{z}_{2}}}\left( {{z}_{2}}-1+i \right)-6i+2$ là số thực nên $x+y-6=0$.
Ta có $P={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}-1$.
Gọi $A$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$, suy ra $A$ nằm trên đường tròn $\left( C \right)$ tâm $O$ bán kính $r=1$.
Gọi $B$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$, suy ra $B$ nằm trên đường thẳng $\Delta :x+y-6=0$.
Ta có $P=A{{B}^{2}}-1$.
Mà $AB\ge d\left( O;\Delta \right)-r=\dfrac{\left| 0+0-6 \right|}{\sqrt{2}}-1=3\sqrt{2}-1$ nên $P\ge {{\left( 3\sqrt{2}-1 \right)}^{2}}-1=18-6\sqrt{2}$.
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $B$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $\Delta $ và $A$ là giao điểm của đoạn $OB$ với đường tròn $\left( C \right)$.
Vì $\overline{{{z}_{2}}}\left( {{z}_{2}}-1+i \right)-6i+2$ là số thực nên $x+y-6=0$.
Ta có $P={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}-1$.
Gọi $A$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$, suy ra $A$ nằm trên đường tròn $\left( C \right)$ tâm $O$ bán kính $r=1$.
Gọi $B$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$, suy ra $B$ nằm trên đường thẳng $\Delta :x+y-6=0$.
Ta có $P=A{{B}^{2}}-1$.
Mà $AB\ge d\left( O;\Delta \right)-r=\dfrac{\left| 0+0-6 \right|}{\sqrt{2}}-1=3\sqrt{2}-1$ nên $P\ge {{\left( 3\sqrt{2}-1 \right)}^{2}}-1=18-6\sqrt{2}$.
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $B$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $\Delta $ và $A$ là giao điểm của đoạn $OB$ với đường tròn $\left( C \right)$.
Đáp án A.