Google
Câu hỏi: Cho số phức ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình: $\left| 6-3i+iz \right|=\left| 2z-6-9i \right|$, thỏa mãn: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2$. Giá trị của biểu thức: $P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$ tương ứng bằng
A. $6$.
B. $5$.
C. $\sqrt{26}$.
D. $10$.
A. $6$.
B. $5$.
C. $\sqrt{26}$.
D. $10$.
Trước hết ta tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn giả thiết:
$\left| 6-3i+iz \right|=\left| 2z-6-9i \right|\Leftrightarrow \left| i \right|.\left| z-3-6i \right|=\left| 2z-6-9i \right|\Leftrightarrow \left| z-3-6i \right|=\left| 2z-6-9i \right| \left( 1 \right)$.
Đặt $z=x+iy$ thay vào (1) ta được:
$\left| x+iy-3-6i \right|=\left| 2\left( x+iy \right)-6-9i \right|\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}={{\left( 2x-6 \right)}^{2}}+{{\left( 2y-9 \right)}^{2}}$.
$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=1$.
Như vậy điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn (C): ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left| z-{{z}_{0}} \right|=R$.
Trong đó: ${{z}_{0}}=3+4i$ và $R=1$. Điểm I biểu diễn số phức ${{z}_{0}}=3+4i$.
Gọi A là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ và B là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ khi đó ta có:
$IA=IB=R=1; AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2=2R$. Suy ra AB là một đường kính của đường tròn (C).
Khi đó ta có I là trung điểm của AB tức là: ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2{{z}_{0}}=6+8i$.
Suy ra: $P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=10$.
$\left| 6-3i+iz \right|=\left| 2z-6-9i \right|\Leftrightarrow \left| i \right|.\left| z-3-6i \right|=\left| 2z-6-9i \right|\Leftrightarrow \left| z-3-6i \right|=\left| 2z-6-9i \right| \left( 1 \right)$.
Đặt $z=x+iy$ thay vào (1) ta được:
$\left| x+iy-3-6i \right|=\left| 2\left( x+iy \right)-6-9i \right|\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}={{\left( 2x-6 \right)}^{2}}+{{\left( 2y-9 \right)}^{2}}$.
$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=1$.
Như vậy điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn (C): ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left| z-{{z}_{0}} \right|=R$.
Trong đó: ${{z}_{0}}=3+4i$ và $R=1$. Điểm I biểu diễn số phức ${{z}_{0}}=3+4i$.
Gọi A là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ và B là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ khi đó ta có:
$IA=IB=R=1; AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2=2R$. Suy ra AB là một đường kính của đường tròn (C).
Khi đó ta có I là trung điểm của AB tức là: ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2{{z}_{0}}=6+8i$.
Suy ra: $P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=10$.
Đáp án D.
