Google
Câu hỏi: Cho số phức ${{z}_{1}}$ thoả mãn ${{\left| {{z}_{1}}-2 \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{1}}+1 \right|}^{2}}=1$ và số phức ${{z}_{2}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{2}}-4-i \right|=\sqrt{5}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|.$
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$
B. $\sqrt{5}.$
C. $2\sqrt{5}.$
D. $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}.$
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$
B. $\sqrt{5}.$
C. $2\sqrt{5}.$
D. $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}.$
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn ${{z}_{1}}$ khi đó: ${{\left| z-2 \right|}^{2}}-{{\left| z+1 \right|}^{2}}=1$
$\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left( \Delta \right):2x+y-1=0$.
Gọi $N\left( a;b \right)$ biểu diễn ${{z}_{2}}$ khi đó: $\left| z-4-i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=5$.
$\to N\in \left( C \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=5$.
Ta có: $d\left( {{I}_{\left( C \right)}};\Delta \right)=\dfrac{8}{\sqrt{5}}>\sqrt{5}={{R}_{\left( C \right)}}\to \Delta $ không cắt $\left( C \right)$
Có $MN={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=d\left( {{I}_{\left( C \right)}};\Delta \right)-{{R}_{\left( C \right)}}=\dfrac{8}{\sqrt{5}}-\sqrt{5}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
$\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left( \Delta \right):2x+y-1=0$.
Gọi $N\left( a;b \right)$ biểu diễn ${{z}_{2}}$ khi đó: $\left| z-4-i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=5$.
$\to N\in \left( C \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=5$.
Ta có: $d\left( {{I}_{\left( C \right)}};\Delta \right)=\dfrac{8}{\sqrt{5}}>\sqrt{5}={{R}_{\left( C \right)}}\to \Delta $ không cắt $\left( C \right)$
Có $MN={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=d\left( {{I}_{\left( C \right)}};\Delta \right)-{{R}_{\left( C \right)}}=\dfrac{8}{\sqrt{5}}-\sqrt{5}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
Đáp án D.