Google
Câu hỏi: Cho số phức ${{z}_{1}}$ thỏa mãn ${{\left| z-2 \right|}^{2}}-{{\left| z+i \right|}^{2}}=1$ và số phức ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| z-4-i \right|=\sqrt{5}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ ?
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
B. $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$
C. $\sqrt{5}$
D. $\dfrac{8}{\sqrt{5}}$
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
B. $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$
C. $\sqrt{5}$
D. $\dfrac{8}{\sqrt{5}}$
Đặt ${{z}_{1}}=x+yi$ được biểu diển bởi điểm $M\left( x;y \right)$
Ta có ${{\left| z-2 \right|}^{2}}-{{\left| z+i \right|}^{2}}=1$
$\Leftrightarrow \left[ {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}} \right]-\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}} \right]=1\Leftrightarrow 2x+y-1=0$
$\Rightarrow M\in d:2x+y-1=0$
Đặt ${{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i$ được biểu diễn bởi điểm $N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$
Ta có $\left| z-4-i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}-4 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-1 \right)}^{2}}=5$
$\Rightarrow N$ thuộc đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=5$
Ta thấy ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}$ được biểu diễn bởi vectơ $\overrightarrow{NM}$ nên $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN$
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\min \Leftrightarrow MN\min $
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $d$, $K$ là giao điểm của đường tròn $\left( C \right)$ và $IH$ ( $K$ nằm giữa $I,H$ )
Dựa vào hình vẽ ta có $MN\min =HK=IH-IK=d\left( I;d \right)-R=\dfrac{8}{\sqrt{5}}-\sqrt{5}$
Vậy $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\min =MN\min =\dfrac{3}{\sqrt{5}}$
Ta có ${{\left| z-2 \right|}^{2}}-{{\left| z+i \right|}^{2}}=1$
$\Leftrightarrow \left[ {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}} \right]-\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}} \right]=1\Leftrightarrow 2x+y-1=0$
$\Rightarrow M\in d:2x+y-1=0$
Đặt ${{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i$ được biểu diễn bởi điểm $N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$
Ta có $\left| z-4-i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}-4 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-1 \right)}^{2}}=5$
$\Rightarrow N$ thuộc đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=5$
Ta thấy ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}$ được biểu diễn bởi vectơ $\overrightarrow{NM}$ nên $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN$
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\min \Leftrightarrow MN\min $
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $d$, $K$ là giao điểm của đường tròn $\left( C \right)$ và $IH$ ( $K$ nằm giữa $I,H$ )
Dựa vào hình vẽ ta có $MN\min =HK=IH-IK=d\left( I;d \right)-R=\dfrac{8}{\sqrt{5}}-\sqrt{5}$
Vậy $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\min =MN\min =\dfrac{3}{\sqrt{5}}$
Đáp án B.