Google
Câu hỏi: Cho $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=x\sqrt{1+{{x}^{2}}}$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=1$. Biết $S=a\sqrt{2}+b\left( a,b\in \mathbb{Q} \right).$ Tính $a+b.$
A. $a+b=\dfrac{1}{3}$.
B. $a+b=0$.
C. $a+b=\dfrac{1}{6}$.
D. $a+b=\dfrac{1}{2}$.
A. $a+b=\dfrac{1}{3}$.
B. $a+b=0$.
C. $a+b=\dfrac{1}{6}$.
D. $a+b=\dfrac{1}{2}$.
Ta có trục tung có phương trình là: $x=0$.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=x\sqrt{1+{{x}^{2}}}$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=1$ là $S=\int\limits_{0}^{1}{x\sqrt{1+{{x}^{2}}}\text{d}x}$.
Mặt khác
$S=\int\limits_{0}^{1}{x\sqrt{1+{{x}^{2}}}\text{d}x}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}\text{d}\left( 1+{{x}^{2}} \right)}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}}{\dfrac{3}{2}}\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{1}{3}\cdot \left( 1+{{x}^{2}} \right)\sqrt{1+{{x}^{2}}}\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}-\dfrac{1}{3}\cdot $
Biết $S=a\sqrt{2}+b\left( a,b\in \mathbb{Q} \right)$ nên $a=\dfrac{2}{3}$ và $b=-\dfrac{1}{3}\cdot $
Vậy $a+b=\dfrac{1}{3}\cdot $.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=x\sqrt{1+{{x}^{2}}}$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=1$ là $S=\int\limits_{0}^{1}{x\sqrt{1+{{x}^{2}}}\text{d}x}$.
Mặt khác
$S=\int\limits_{0}^{1}{x\sqrt{1+{{x}^{2}}}\text{d}x}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}\text{d}\left( 1+{{x}^{2}} \right)}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}}{\dfrac{3}{2}}\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{1}{3}\cdot \left( 1+{{x}^{2}} \right)\sqrt{1+{{x}^{2}}}\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}-\dfrac{1}{3}\cdot $
Biết $S=a\sqrt{2}+b\left( a,b\in \mathbb{Q} \right)$ nên $a=\dfrac{2}{3}$ và $b=-\dfrac{1}{3}\cdot $
Vậy $a+b=\dfrac{1}{3}\cdot $.
Đáp án A.