Cho phương trình...

Ta có: ${{2}^{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m}}-{{2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{x}^{3}}-3x+m=0\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m={{2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{x}^{2}}+x \left( * \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1>0, \forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Mà $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m \right)=f\left( {{x}^{2}}+x \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m={{x}^{2}}+x$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x+m=0\Leftrightarrow m=-{{x}^{3}}+3x \left( ** \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3x$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có: ${g}'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+3$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\pm 1$.
Bảng biến thiên:

Phương trình ${{2}^{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m}}-{{2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{x}^{3}}-3x+m=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ phương trình (**) có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow -2<m<2\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+2b=2$.