Cho phương trình...

$\begin{aligned}
& {{2}^{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m}}-{{2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{x}^{3}}-3x+m=0 \\
& \Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m-\left( {{2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{x}^{2}}+x \right)=0 \\
& \Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m={{2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{x}^{2}}+x\left( * \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$ ta có $f'\left( t \right)=2'\ln 2+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m={{x}^{2}}+x\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x=-m\left( ** \right)$
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (**) có 3 nghiệm phân biệt, khi đó $m\in \left( {{y}_{CT}};{{y}_{CD}} \right)$ của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$
Ta có $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\Rightarrow f\left( 1 \right)=-2 \\
& x=-1\Rightarrow f\left( -1 \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow m\in \left( -2;2 \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+2b=-2+4=2$