Cho phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0$ (với $a,b\in \mathbb{R}$ ) có...

Phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0$ (với $a,b\in \mathbb{R}$ ) có hai nghiệm ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ suy ra $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$. Khi đó
$\begin{aligned}
& i\left| {{z}_{1}} \right|={{z}_{2}}+i-3\Leftrightarrow {{z}_{2}}=3+\left( \left| {{z}_{2}} \right|-1 \right)i \\
& \Leftrightarrow \left| {{z}_{2}} \right|=\left| 3+\left( \left| {{z}_{2}} \right|-1 \right)i \right|\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}={{3}^{2}}+{{\left( \left| {{z}_{2}} \right|-1 \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow \left| {{z}_{2}} \right|=5. \\
\end{aligned}$
Do đó ${{z}_{2}}=3+4i$ suy ra ${{z}_{1}}=3-4i$.
Theo hệ thức Vi-ét, ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là nghiệm phương trình
${{z}^{2}}-6z+25=0$.
Suy ra $a=-6$, $b=25$.
Vậy $2a+b=13$.