Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{z}^{2}}+az+2{{a}^{2}}=0$, với $a$ là số thực dương. Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình, trong đó ${{z}_{1}}$ có phần ảo dương. Biết rằng $\left( 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\overline{{{z}_{1}}}=10+2\sqrt{7}i$. Khẳng định làm sau đây đúng?
A. $1<a<3$.
B. $a<1$.
C. $5<a<8$.
D. $3<a<5$.
A. $1<a<3$.
B. $a<1$.
C. $5<a<8$.
D. $3<a<5$.
Xét phương trình ${{z}^{2}}+az+2{{a}^{2}}=0$, với $a>0$.
Ta có: $\Delta ={{a}^{2}}-8{{a}^{2}}=-7{{a}^{2}}<0$, $\forall a>0$
Suy ra phương trình có hai nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ với $\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}$ và ${{z}_{2}}=\dfrac{-a-a\sqrt{7}i}{2}$.
Theo định lí Viét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-a \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=2{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó: $\left( 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\overline{{{z}_{1}}}=10+2\sqrt{7}i$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left( {{z}_{1}}-a \right){{z}_{2}}=10+2\sqrt{7}i\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-a{{z}_{2}}=10+2\sqrt{7}i\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-a.\dfrac{-a-a\sqrt{7}i}{2}=10+2\sqrt{7}i \\
& \Leftrightarrow \dfrac{5{{a}^{2}}}{2}+\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{7}i}{2}=10+2\sqrt{7}i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{5{{a}^{2}}}{2}=10 \\
& \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{7}}{2}=2\sqrt{7} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{a}^{2}}=4\Leftrightarrow a=2. \\
\end{aligned}$
Ta có: $\Delta ={{a}^{2}}-8{{a}^{2}}=-7{{a}^{2}}<0$, $\forall a>0$
Suy ra phương trình có hai nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ với $\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}$ và ${{z}_{2}}=\dfrac{-a-a\sqrt{7}i}{2}$.
Theo định lí Viét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-a \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=2{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó: $\left( 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\overline{{{z}_{1}}}=10+2\sqrt{7}i$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left( {{z}_{1}}-a \right){{z}_{2}}=10+2\sqrt{7}i\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-a{{z}_{2}}=10+2\sqrt{7}i\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-a.\dfrac{-a-a\sqrt{7}i}{2}=10+2\sqrt{7}i \\
& \Leftrightarrow \dfrac{5{{a}^{2}}}{2}+\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{7}i}{2}=10+2\sqrt{7}i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{5{{a}^{2}}}{2}=10 \\
& \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{7}}{2}=2\sqrt{7} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{a}^{2}}=4\Leftrightarrow a=2. \\
\end{aligned}$
Đáp án A.
