Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{x}^{2}}-4x+\dfrac{c}{d}=0$ ( với phân số $\dfrac{c}{d}$ tối giản) có hai nghiệm phức. Gọi $A$, $B$ là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng $Oxy$. Biết tam giác $OAB$ đều (với $O$ là gốc tọa độ), tính $P=c+2d$.
A. $P=18$.
B. $P=22$.
C. $P=-10$.
D. $P=-14$.
Nếu phương trình ${{x}^{2}}-4x+\dfrac{c}{d}=0$ có hai nghiệm thực thì ba điểm $A,B,O$ cùng nằm trên một đường thẳng (không thỏa mãn).
Vậy ${{x}^{2}}-4x+\dfrac{c}{d}=0$ có hai nghiệm phức có phần ảo khác 0 $\Leftrightarrow {\Delta }'=4-\dfrac{c}{d}<0$.
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức ${{x}_{1}}=2+\sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|} i$ ; ${{x}_{2}}=2-\sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|} i$.
Gọi $A$, $B$ lần lượt là hai điểm biểu diễn của ${{x}_{1}}$ ; ${{x}_{2}}$ trên mặt phẳng $Oxy$ ta có:
$A\left( 2 ; \sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|} \right)$ ; $B\left( 2 ; -\sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|} \right)$.
Ta có: $AB=2\sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|}$ ; $OA=OB=\sqrt{4+\left| {{\Delta }'} \right|}$.
Tam giác $OAB$ đều khi và chỉ khi $AB=OA=OB\Leftrightarrow 2\sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|}=\sqrt{4+\left| {{\Delta }'} \right|}\Leftrightarrow 4\left| {{\Delta }'} \right|=4+\left| {{\Delta }'} \right|$
$\Leftrightarrow \left| {{\Delta }'} \right|=\dfrac{4}{3}$. Vì ${\Delta }'<0$ nên ${\Delta }'=-\dfrac{4}{3}$ hay $4-\dfrac{c}{d}=-\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow \dfrac{c}{d}=\dfrac{16}{3}$.
Từ đó ta có $c=16$ ; $d=3$.
Vậy: $P=c+2d=22$.
A. $P=18$.
B. $P=22$.
C. $P=-10$.
D. $P=-14$.
Nếu phương trình ${{x}^{2}}-4x+\dfrac{c}{d}=0$ có hai nghiệm thực thì ba điểm $A,B,O$ cùng nằm trên một đường thẳng (không thỏa mãn).
Vậy ${{x}^{2}}-4x+\dfrac{c}{d}=0$ có hai nghiệm phức có phần ảo khác 0 $\Leftrightarrow {\Delta }'=4-\dfrac{c}{d}<0$.
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức ${{x}_{1}}=2+\sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|} i$ ; ${{x}_{2}}=2-\sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|} i$.
Gọi $A$, $B$ lần lượt là hai điểm biểu diễn của ${{x}_{1}}$ ; ${{x}_{2}}$ trên mặt phẳng $Oxy$ ta có:
$A\left( 2 ; \sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|} \right)$ ; $B\left( 2 ; -\sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|} \right)$.
Ta có: $AB=2\sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|}$ ; $OA=OB=\sqrt{4+\left| {{\Delta }'} \right|}$.
Tam giác $OAB$ đều khi và chỉ khi $AB=OA=OB\Leftrightarrow 2\sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|}=\sqrt{4+\left| {{\Delta }'} \right|}\Leftrightarrow 4\left| {{\Delta }'} \right|=4+\left| {{\Delta }'} \right|$
$\Leftrightarrow \left| {{\Delta }'} \right|=\dfrac{4}{3}$. Vì ${\Delta }'<0$ nên ${\Delta }'=-\dfrac{4}{3}$ hay $4-\dfrac{c}{d}=-\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow \dfrac{c}{d}=\dfrac{16}{3}$.
Từ đó ta có $c=16$ ; $d=3$.
Vậy: $P=c+2d=22$.
Đáp án B.