Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{\sqrt[3]{2}}}\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4 \right)+{{\left( x+2 \right)}^{2}}\left( x-1 \right)+8={{2}^{m}}+3m$, ( $m$ là tham số). Tìm số giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc $\left[ -2;4 \right)$ ?
A. $3$.
B. $4$.
C. $5$.
D. $2$.
A. $3$.
B. $4$.
C. $5$.
D. $2$.
Điều kiện ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4>0$
Ta có ${{\log }_{\sqrt[3]{2}}}\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4 \right)+{{\left( x+2 \right)}^{2}}\left( x-1 \right)+8={{2}^{m}}+3m$ $\Leftrightarrow 3{{\log }_{2}}\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4 \right)+\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4 \right)=3{{\log }_{2}}{{2}^{m}}+{{2}^{m}}, \left( 1 \right)$
Xét hàm số $y=f\left( t \right)=3{{\log }_{2}}t+t$ với $t>0$ có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t.\ln 2}+1>0,\forall t>0$ nên hàm số $y=f\left( t \right)=3{{\log }_{2}}t+t$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Từ $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4 \right)=f\left( {{2}^{m}} \right)\Leftrightarrow {{2}^{m}}={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4$.
Đặt $g\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4$ với $x\in \left[ -2;4 \right)$ có ${g}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc $\left[ -2;4 \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{2}^{m}}=4 \\
& 8<{{2}^{m}}<116 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 \\
& 3<m<{{\log }_{2}}116 \\
\end{aligned} \right.$.
Mà tham số $m$ nguyên nên $m\in \left\{ 2;4;5;6 \right\}$.
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc $\left[ -2;4 \right)$.
Ta có ${{\log }_{\sqrt[3]{2}}}\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4 \right)+{{\left( x+2 \right)}^{2}}\left( x-1 \right)+8={{2}^{m}}+3m$ $\Leftrightarrow 3{{\log }_{2}}\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4 \right)+\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4 \right)=3{{\log }_{2}}{{2}^{m}}+{{2}^{m}}, \left( 1 \right)$
Xét hàm số $y=f\left( t \right)=3{{\log }_{2}}t+t$ với $t>0$ có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t.\ln 2}+1>0,\forall t>0$ nên hàm số $y=f\left( t \right)=3{{\log }_{2}}t+t$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Từ $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4 \right)=f\left( {{2}^{m}} \right)\Leftrightarrow {{2}^{m}}={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4$.
Đặt $g\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4$ với $x\in \left[ -2;4 \right)$ có ${g}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên
& {{2}^{m}}=4 \\
& 8<{{2}^{m}}<116 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 \\
& 3<m<{{\log }_{2}}116 \\
\end{aligned} \right.$.
Mà tham số $m$ nguyên nên $m\in \left\{ 2;4;5;6 \right\}$.
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc $\left[ -2;4 \right)$.
Đáp án B.