Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{a}}\left( ax \right){{\log }_{b}}\left( bx \right)=2020$ với $a, b$ là các tham số thực lớn hơn $1$. Gọi ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ là các nghiệm của phương trình đã cho. Khi biểu thức $P=6{{x}_{1}}{{x}_{2}}+a+b+3\left( \dfrac{1}{4a}+\dfrac{4}{b} \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $a+b$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 6;7 \right)$
B. $\left( -1;2 \right)$
C. $\left( -2;3 \right)$
D. $\left( 5;7 \right)$.
A. $\left( 6;7 \right)$
B. $\left( -1;2 \right)$
C. $\left( -2;3 \right)$
D. $\left( 5;7 \right)$.
Ta có ${{\log }_{a}}\left( ax \right){{\log }_{b}}\left( bx \right)=2020$
$\Leftrightarrow \left( 1+{{\log }_{a}}x \right)\left( 1+{{\log }_{b}}x \right)=2020\Leftrightarrow \left( 1+{{\log }_{a}}x \right)\left( 1+{{\log }_{b}}a{{\log }_{a}}x \right)=2020$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& m={{\log }_{b}}a \\
& t={{\log }_{a}}x \\
\end{aligned} \right. $(Do $ a,b>1\Rightarrow m>0$).
Suy ra: $\left( 1+t \right)\left( 1+mt \right)=2020$ $\Leftrightarrow m{{t}^{2}}+\left( m+1 \right)t-2019=0 \left( * \right)$
Xét $\Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}+4.2019.m >0 \Rightarrow m>0$.
Vậy phương trình $\left( * \right)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$.
Theo Vi-et ta có: ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-\dfrac{m+1}{m}$ $\Rightarrow {{\log }_{a}}{{x}_{1}}+{{\log }_{a}}{{x}_{2}}=-\dfrac{{{\log }_{b}}a+1}{{{\log }_{b}}a}$
$\Rightarrow {{\log }_{a}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\left( 1+{{\log }_{a}}b \right)=-{{\log }_{a}}ab$ $\Rightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{1}{ab}$
Do đó $P=6{{x}_{1}}{{x}_{2}}+a+b+3\left( \dfrac{1}{4a}+\dfrac{4}{b} \right)$
$\Leftrightarrow P =\dfrac{6}{ab}+a+b+3\left( \dfrac{1}{4a}+\dfrac{4}{b} \right)$
$\Leftrightarrow P =\left( \dfrac{6}{ab}+\dfrac{2}{3}a+\dfrac{1}{4}b \right)+\left( \dfrac{1}{3}a+\dfrac{3}{4a} \right)+\left( \dfrac{3b}{4}+\dfrac{12}{b} \right)$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ số ta được: $P\ge 3+1+6=10$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=\dfrac{3}{2};b=4$. Vậy $a+b=\dfrac{11}{2}$.
$\Leftrightarrow \left( 1+{{\log }_{a}}x \right)\left( 1+{{\log }_{b}}x \right)=2020\Leftrightarrow \left( 1+{{\log }_{a}}x \right)\left( 1+{{\log }_{b}}a{{\log }_{a}}x \right)=2020$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& m={{\log }_{b}}a \\
& t={{\log }_{a}}x \\
\end{aligned} \right. $(Do $ a,b>1\Rightarrow m>0$).
Suy ra: $\left( 1+t \right)\left( 1+mt \right)=2020$ $\Leftrightarrow m{{t}^{2}}+\left( m+1 \right)t-2019=0 \left( * \right)$
Xét $\Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}+4.2019.m >0 \Rightarrow m>0$.
Vậy phương trình $\left( * \right)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$.
Theo Vi-et ta có: ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-\dfrac{m+1}{m}$ $\Rightarrow {{\log }_{a}}{{x}_{1}}+{{\log }_{a}}{{x}_{2}}=-\dfrac{{{\log }_{b}}a+1}{{{\log }_{b}}a}$
$\Rightarrow {{\log }_{a}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\left( 1+{{\log }_{a}}b \right)=-{{\log }_{a}}ab$ $\Rightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{1}{ab}$
Do đó $P=6{{x}_{1}}{{x}_{2}}+a+b+3\left( \dfrac{1}{4a}+\dfrac{4}{b} \right)$
$\Leftrightarrow P =\dfrac{6}{ab}+a+b+3\left( \dfrac{1}{4a}+\dfrac{4}{b} \right)$
$\Leftrightarrow P =\left( \dfrac{6}{ab}+\dfrac{2}{3}a+\dfrac{1}{4}b \right)+\left( \dfrac{1}{3}a+\dfrac{3}{4a} \right)+\left( \dfrac{3b}{4}+\dfrac{12}{b} \right)$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ số ta được: $P\ge 3+1+6=10$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=\dfrac{3}{2};b=4$. Vậy $a+b=\dfrac{11}{2}$.
Đáp án D.