Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 6x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m$ (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 6
B. 5
C. Vô số
D. 7
A. 6
B. 5
C. Vô số
D. 7
Xét phương trình ${{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 6x-1 \right)-{{\log }_{3}}m$. Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x>\dfrac{1}{6} \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ${{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 6x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x+{{\log }_{3}}m={{\log }_{3}}\left( 6x-1 \right)$
$\Leftrightarrow mx=6x-1\Leftrightarrow x\left( 6-m \right)=1\left( 1 \right)$
+) Với $m=6$, phương trình (1) trở thành $0=1$ (vô lý).
+) Với $m\ne 6$, phương trình (1) có nghiệm $x=\dfrac{1}{6-m}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{6-m}>\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow \dfrac{1}{6-m}-\dfrac{1}{6}>0\Leftrightarrow \dfrac{m}{6-m}>0\Leftrightarrow 0<m<6$
Vậy $0<m<6$. Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 1; 2; 3; 4; 5 \right\}$. Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Cách khác.
Cô lập tham số như đề tham khảo số 01 ta có ${{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 3x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m$, sau đó đặt $f\left( x \right)={{\log }_{9}}{{x}^{2}}\left( 3x-1 \right)$ rồi dùng table vẽ bảng biến thiên, cuối cùng dựa vào bảng biến thiên để biện luận.
& x>\dfrac{1}{6} \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ${{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 6x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x+{{\log }_{3}}m={{\log }_{3}}\left( 6x-1 \right)$
$\Leftrightarrow mx=6x-1\Leftrightarrow x\left( 6-m \right)=1\left( 1 \right)$
+) Với $m=6$, phương trình (1) trở thành $0=1$ (vô lý).
+) Với $m\ne 6$, phương trình (1) có nghiệm $x=\dfrac{1}{6-m}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{6-m}>\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow \dfrac{1}{6-m}-\dfrac{1}{6}>0\Leftrightarrow \dfrac{m}{6-m}>0\Leftrightarrow 0<m<6$
Vậy $0<m<6$. Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 1; 2; 3; 4; 5 \right\}$. Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Cách khác.
Cô lập tham số như đề tham khảo số 01 ta có ${{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 3x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m$, sau đó đặt $f\left( x \right)={{\log }_{9}}{{x}^{2}}\left( 3x-1 \right)$ rồi dùng table vẽ bảng biến thiên, cuối cùng dựa vào bảng biến thiên để biện luận.
Đáp án B.