Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{9}}{{x}^{2}}-4{{\log }_{3}}\left( 4x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m$ ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 5.
B. 3.
C. Vô số
D. 4.
A. 5.
B. 3.
C. Vô số
D. 4.
Điều kiện: $x>\dfrac{1}{4}$. Phương trình đã cho $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-4{{\log }_{3}}\left( 4x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}={{\log }_{3}}\dfrac{1}{m}\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{x}{{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}}={{\log }_{3}}\dfrac{1}{m}\Leftrightarrow m=\dfrac{{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}}{x}=f\left( x \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}}{x}$ có
$f'\left( x \right)=\dfrac{16x{{\left( 4x-1 \right)}^{3}}-{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{\left( 4x-1 \right)}^{3}}\left( 12x+1 \right)}{{{x}^{2}}}>0,\forall x>\dfrac{1}{4}$
Suy ra bảng biến thiên:
Do đó phương trình có nghiệm khi m > 0. Vậy có vô số giá trị nguyên của m.
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}={{\log }_{3}}\dfrac{1}{m}\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{x}{{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}}={{\log }_{3}}\dfrac{1}{m}\Leftrightarrow m=\dfrac{{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}}{x}=f\left( x \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}}{x}$ có
$f'\left( x \right)=\dfrac{16x{{\left( 4x-1 \right)}^{3}}-{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{\left( 4x-1 \right)}^{3}}\left( 12x+1 \right)}{{{x}^{2}}}>0,\forall x>\dfrac{1}{4}$
Suy ra bảng biến thiên:
Do đó phương trình có nghiệm khi m > 0. Vậy có vô số giá trị nguyên của m.
Đáp án C.