T

Cho phương trình $\log _{3}^{2}x-{{\log }_{3}}x+m-3=0$. Tìm tất cả...

Câu hỏi: Cho phương trình $\log _{3}^{2}x-{{\log }_{3}}x+m-3=0$. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m
để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1​ < x2​ thỏa mãn x2​ – 81x1​ < 0
A. 4
B. 5
C. 3
D. 6
Phương pháp:
+ Tìm ĐK.
+ Đặt ${{\log }_{3}}x=t$ từ đó đưa về phương trình bậc hai ẩn t.
+ Biến đổi yêu cầu bài toán để sử dụng được hệ thức Vi-ét.
Cách giải:
Đk: x > 0
Đặt ${{\log }_{3}}x=t$ ta có phương trình t2​ - 4t + m - 3 = 0 (*)
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1​ < x2​ thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
t1​ < t2​
Hay ' = 22​ - (m - 3) = 7 - m > 0 m < 7
Theo hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=4 \\
& {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=m-3 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có ${{t}_{1}}={{\log }_{3}}{{x}_{1}}\Rightarrow {{x}_{1}}={{3}^{{{t}_{1}}}}; {{t}_{2}}={{\log }_{3}}{{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{2}}={{3}^{{{t}_{2}}}}$
Khi đó ${{x}_{2}}-81{{x}_{1}}<0\Leftrightarrow {{3}^{{{t}_{2}}}}-{{81.3}^{{{t}_{1}}}}<0\Leftrightarrow {{3}^{^{{{t}_{2}}}}}<{{3}^{{{t}_{1}}+4}}\Leftrightarrow {{t}_{2}}<{{t}_{1}}+4\Leftrightarrow {{t}_{2}}-{{t}_{1}}<4$
Suy ra ${{({{t}_{2}}-{{t}_{1}})}^{2}}<16\Leftrightarrow {{\left( {{t}_{2}}+{{t}_{1}} \right)}^{2}}-4{{t}_{1}}{{t}_{2}}<16\Leftrightarrow {{(-4)}^{2}}-4(m-3)<16\Leftrightarrow m-3>0\Leftrightarrow m>3$
Từ đó 3 < m < 7 mà m Z nên m {4; 5; 6}.
Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn đề bài.
Đáp án C.
 

Quảng cáo

Back
Top