Cho phương trình $\log _{2}^{2}x-2{{\log }_{2}}x-\sqrt{m+{{\log...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Cho phương trình

\log_{2}^{2} x - 2 \log_{2} x - \sqrt{m + \log_{2} x} = m .

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m \in [- 20; 20]

để phương trình đã cho có nghiệm

x \in (0; 1) .

A. 21.
B. 4.
C. 19.
D. 20.

Phương trình

\Leftrightarrow \log_{2}^{2} x - \log_{2} x = m + \log_{2} x + \sqrt{m + \log_{2} x} (*)

Với điều kiện

x \in (0; 1) \Rightarrow - \log_{2} x > 0

Xét hàm số

f (t) = t^{2} + t (t > 0)

là hàm số đồng biến trên khoảng

(0; + \infty)

Do đó phương trình

(*) \Leftrightarrow f (- \log_{2} x) = f (\sqrt{m + \log_{2} x}) \Leftrightarrow - \log_{2} x = \sqrt{m + \log_{2} x}

\Leftrightarrow m = \log_{2}^{2} x - \log_{2} x = u^{2} + u = f (u)

(với

u = - \log_{2} x

và

u > 0

)
Mặt khác

lim_{u \to 0} f (u) = 0, lim_{u \to + \infty} f (u) = + \infty

nên phương trình có nghiệm khi

m > 0.

Kết hợp

m \in Z, m \in [- 20; 20]

suy ra có 20 giá trị của tham số m.

Đáp án D.