Google
Câu hỏi: Cho phương trình $\log _{2}^{2}x-2{{\log }_{2}}x-\sqrt{m+{{\log }_{2}}x}=m.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -20;20 \right]$ để phương trình đã cho có nghiệm $x\in \left( 0;1 \right).$
A. 21.
B. 4.
C. 19.
D. 20.
A. 21.
B. 4.
C. 19.
D. 20.
Phương trình $\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}x=m+{{\log }_{2}}x+\sqrt{m+{{\log }_{2}}x}\left( * \right)$
Với điều kiện $x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow -{{\log }_{2}}x>0$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t\left( t>0 \right)$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
Do đó phương trình $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( -{{\log }_{2}}x \right)=f\left( \sqrt{m+{{\log }_{2}}x} \right)\Leftrightarrow -{{\log }_{2}}x=\sqrt{m+{{\log }_{2}}x}$
$\Leftrightarrow m=\log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}x={{u}^{2}}+u=f\left( u \right)$ (với $u=-{{\log }_{2}}x$ và $u>0$ )
Mặt khác $\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }} f\left( u \right)=0,\underset{u\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( u \right)=+\infty $ nên phương trình có nghiệm khi $m>0.$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z},m\in \left[ -20;20 \right]$ suy ra có 20 giá trị của tham số m.
Với điều kiện $x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow -{{\log }_{2}}x>0$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t\left( t>0 \right)$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
Do đó phương trình $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( -{{\log }_{2}}x \right)=f\left( \sqrt{m+{{\log }_{2}}x} \right)\Leftrightarrow -{{\log }_{2}}x=\sqrt{m+{{\log }_{2}}x}$
$\Leftrightarrow m=\log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}x={{u}^{2}}+u=f\left( u \right)$ (với $u=-{{\log }_{2}}x$ và $u>0$ )
Mặt khác $\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }} f\left( u \right)=0,\underset{u\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( u \right)=+\infty $ nên phương trình có nghiệm khi $m>0.$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z},m\in \left[ -20;20 \right]$ suy ra có 20 giá trị của tham số m.
Đáp án D.