Google
Câu hỏi: Cho phương trình $lo{{g}_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 3x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m$ (m là số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phuong trình đã cho có nghiệm?
A. 2.
B. 4.
C. 3.
D. Vô số.
A. 2.
B. 4.
C. 3.
D. Vô số.
Điều kiện: $x>\dfrac{1}{3}$ và $m>0.$ Phương trình đã cho tương đương:
$lo{{g}_{3}}x-{{\log }_{3}}\left( 3x-1 \right)={{\log }_{3}}\dfrac{1}{m}\Leftrightarrow \dfrac{x}{3x-1}=\dfrac{1}{m}.$ Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{3x-1}$ với $x>\dfrac{1}{3}$ có
${f}'\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}}<0,\forall x>\dfrac{1}{3}$
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi $\dfrac{1}{m}>\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow 0<m<3.$ Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2 \right\}.$
Chú ý.
Thật ra ta không cần biến đổi gì, cứ để phương trình dạng ban đầu $lo{{g}_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 3x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m,$ sau đó đặt $f\left( x \right)=lo{{g}_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 3x-1 \right)$ rồi dùng table vẽ bảng biến thiên cuối cùng dựa vào biến thiên để biện luận.
$lo{{g}_{3}}x-{{\log }_{3}}\left( 3x-1 \right)={{\log }_{3}}\dfrac{1}{m}\Leftrightarrow \dfrac{x}{3x-1}=\dfrac{1}{m}.$ Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{3x-1}$ với $x>\dfrac{1}{3}$ có
${f}'\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}}<0,\forall x>\dfrac{1}{3}$
Chú ý.
Thật ra ta không cần biến đổi gì, cứ để phương trình dạng ban đầu $lo{{g}_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 3x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m,$ sau đó đặt $f\left( x \right)=lo{{g}_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 3x-1 \right)$ rồi dùng table vẽ bảng biến thiên cuối cùng dựa vào biến thiên để biện luận.
Đáp án A.