Cho phương trình $\left( 4\log _{2}^{2}x+{{\log }_{2}}x-5...

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& {{7}^{x}}-m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& {{7}^{x}}\ge m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& x\ge {{\log }_{7}}m\left( m>0 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Với m nguyên dương ta có:
$\left( 4\log _{2}^{2}x+{{\log }_{2}}x-5 \right)\sqrt{{{7}^{x}}-m}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4\log _{2}^{2}x+{{\log }_{2}}x-5=0 \\
& \sqrt{{{7}^{x}}-m}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x={{2}^{-\dfrac{5}{4}}} \\
& x={{\log }_{7}}m \\
\end{aligned} \right.$
+) Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt có 2 trường hợp:
-TH1: $2>{{\log }_{7}}m\ge {{2}^{-\dfrac{5}{4}}}\Leftrightarrow {{7}^{{{2}^{-\dfrac{5}{4}}}}}\le m<{{7}^{2}}.$
Trường hợp này, $m\in \left\{ 3;4;5;...;48 \right\},$ có 46 giá trị nguyên dương của m.
-TH2 : ${{\log }_{7}}m\le 0\Leftrightarrow m\le 1\Rightarrow m=1.$ Trường hợp này có 1 giá trị của m thỏa mãn.
Vậy có tất cả 47 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu.