Google
Câu hỏi: Cho phương trình $\left( 3x-5 \right)\log _{3}^{2}\left( x+m \right)+\left( 9x-19 \right){{\log }_{3}}\left( x+m \right)=12$ với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng $\left( 2;+\infty \right)$.
A. $\left( -\infty ;-\dfrac{53}{27} \right)$.
B. $\left( -\dfrac{53}{27};79 \right)$.
C. $\left( -79;+\infty \right)$.
D. $\left( -\infty ;79 \right)$.
A. $\left( -\infty ;-\dfrac{53}{27} \right)$.
B. $\left( -\dfrac{53}{27};79 \right)$.
C. $\left( -79;+\infty \right)$.
D. $\left( -\infty ;79 \right)$.
TXĐ: $D=\left( -m;+\infty \right)$.
Đặt $t={{\log }_{3}}\left( x+m \right)$. Phương trình đã cho trở thành $\left( 3x-5 \right){{t}^{2}}+\left( 9x-19 \right)t-12=0$
$\Leftrightarrow \left( 3x-5 \right){{t}^{2}}+\left( 9x-15 \right)t-4t-12=0\Leftrightarrow \left( 3x-5 \right)t\left( t+3 \right)-4\left( t+3 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( t+3 \right)\left[ \left( 3x-5 \right)t-4 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t+3=0 \\
& \left( 3x-5 \right)t-4=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-3 \\
& t=\dfrac{4}{3x-5}(do x>2) \\
\end{aligned} \right.$
+) Với $t=-3\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( x+m \right)=-3\Leftrightarrow x+m=\dfrac{1}{27}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{27}-m$.
Để $x=\dfrac{1}{27}-m$ là nghiệm thuộc khoảng $\left( 2;+\infty \right)$ thì $\dfrac{1}{27}-m>2\Leftrightarrow m<\dfrac{1}{27}-2\Leftrightarrow m<\dfrac{-53}{27}$.
+) Với $t=\dfrac{4}{3x-5}\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( x+m \right)=\dfrac{4}{3x-5}\Leftrightarrow x+m={{3}^{\dfrac{4}{3x-5}}}\Leftrightarrow m={{3}^{\dfrac{4}{3x-5}}}-x$.
Đặt $f\left( x \right)={{3}^{\dfrac{4}{3x-5}}}-x$ với $x>2\Rightarrow {f}'\left( x \right)={{3}^{\dfrac{4}{3x-5}}}.\dfrac{-12}{{{\left( 3x-5 \right)}^{2}}}.\ln 3-1<0 \forall x>2\Rightarrow f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 2;+\infty \right)\Rightarrow f\left( x \right)<f\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)<79$. Để phương trình có nghiệm thuộc khoảng từ $\left( 2;+\infty \right)$ thì $m<79$. Kết hợp hai trường hợp trên ta được $m\in \left( -\infty ;79 \right)$.
Bước 2: Cô lập m và khảo sát hàm số $f\left( t \right)$ để xét tương giao giữa đồ thị hàm số $y=f\left( t \right)$ và đường thẳng $y=m$.
Đặt $t={{\log }_{3}}\left( x+m \right)$. Phương trình đã cho trở thành $\left( 3x-5 \right){{t}^{2}}+\left( 9x-19 \right)t-12=0$
$\Leftrightarrow \left( 3x-5 \right){{t}^{2}}+\left( 9x-15 \right)t-4t-12=0\Leftrightarrow \left( 3x-5 \right)t\left( t+3 \right)-4\left( t+3 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( t+3 \right)\left[ \left( 3x-5 \right)t-4 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t+3=0 \\
& \left( 3x-5 \right)t-4=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-3 \\
& t=\dfrac{4}{3x-5}(do x>2) \\
\end{aligned} \right.$
+) Với $t=-3\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( x+m \right)=-3\Leftrightarrow x+m=\dfrac{1}{27}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{27}-m$.
Để $x=\dfrac{1}{27}-m$ là nghiệm thuộc khoảng $\left( 2;+\infty \right)$ thì $\dfrac{1}{27}-m>2\Leftrightarrow m<\dfrac{1}{27}-2\Leftrightarrow m<\dfrac{-53}{27}$.
+) Với $t=\dfrac{4}{3x-5}\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( x+m \right)=\dfrac{4}{3x-5}\Leftrightarrow x+m={{3}^{\dfrac{4}{3x-5}}}\Leftrightarrow m={{3}^{\dfrac{4}{3x-5}}}-x$.
Đặt $f\left( x \right)={{3}^{\dfrac{4}{3x-5}}}-x$ với $x>2\Rightarrow {f}'\left( x \right)={{3}^{\dfrac{4}{3x-5}}}.\dfrac{-12}{{{\left( 3x-5 \right)}^{2}}}.\ln 3-1<0 \forall x>2\Rightarrow f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 2;+\infty \right)\Rightarrow f\left( x \right)<f\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)<79$. Để phương trình có nghiệm thuộc khoảng từ $\left( 2;+\infty \right)$ thì $m<79$. Kết hợp hai trường hợp trên ta được $m\in \left( -\infty ;79 \right)$.
Note 56: Phương pháp chung
Bước 1: Đặt ẩn phụ $t=u\left( x \right)$ và tìm điều kiện của t. Khi đó phương trình trở thành phương trình ẩn t.Bước 2: Cô lập m và khảo sát hàm số $f\left( t \right)$ để xét tương giao giữa đồ thị hàm số $y=f\left( t \right)$ và đường thẳng $y=m$.
Đáp án D.