. Cho phương trình $\left( 2{{x}^{2}}-2x+1...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Cho phương trình

(2 x^{2} - 2 x + 1) {.2}^{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 4 - 2 m} = - x^{3} + x^{2} + m - 1 (1)

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình (1) có nghiệm

x \in [1; 2]

?
A. 8.
B. 10.
C. 9.
D. 7.

Có

(2 x^{2} - 2 x + 1) {.2}^{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 4 - 2 m} = - x^{3} + x^{2} + m - 1

\Leftrightarrow (2 x^{2} - 2 x + 1) {.2}^{4 x^{2} - 4 x + 2} = (- x^{3} + x^{2} + m - 1) {.2}^{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 m - 2}

\Leftrightarrow f (2 x^{2} - 2 x + 1) = f (- x^{3} + x^{2} + m - 1)

với

f (t) = t {.2}^{2 t}

.
Với

x \in [1; 2] \Rightarrow 2 x^{2} - 2 x + 1 \in [1; 5]

Lại có:

f^{'} (t) = 2^{2 t} + 2 t {.2}^{2 t} . \ln 2 = 2^{t} (1 + 2 t . \ln 2) > 0, \forall t \in [1; 5]

hay

f (t)

đồng biến trên đoạn

[1; 5]

.
Khi đó:

f (2 x^{2} - 2 x + 1) = f (- x^{2} + x^{2} + m - 1) \Leftrightarrow 2 x^{2} - 2 x + 1 = - x^{3} + x^{2} + m - 1

\Leftrightarrow x^{2} + x^{2} - 2 x + 2 = m (2)

.
Phương trình (1) có nghiệm

x \in [1; 2]

phương trình (2) có nghiệm

x \in [1; 2]

\Leftrightarrow min_{[1; 2]} g (x) \leq m \leq max_{[1; 2]} g (x)

với

g (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x + 2

\Leftrightarrow 2 \leq m \leq 10

hay

m \in {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

.
Vậy có 9 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án C.