Google
Câu hỏi: . Cho phương trình $\left( 2{{x}^{2}}-2x+1 \right){{.2}^{2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-4x+4-2m}}=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+m-1\left( 1 \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình (1) có nghiệm $x\in \left[ 1;2 \right]$ ?
A. 8.
B. 10.
C. 9.
D. 7.
A. 8.
B. 10.
C. 9.
D. 7.
Có $\left( 2{{x}^{2}}-2x+1 \right){{.2}^{2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-4x+4-2m}}=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+m-1$
$\Leftrightarrow \left( 2{{x}^{2}}-2x+1 \right){{.2}^{4{{x}^{2}}-4x+2}}=\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+m-1 \right){{.2}^{-2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2m-2}}$
$\Leftrightarrow f\left( 2{{x}^{2}}-2x+1 \right)=f\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+m-1 \right)$ với $f\left( t \right)=t{{.2}^{2t}}$.
Với $x\in \left[ 1;2 \right]\Rightarrow 2{{x}^{2}}-2x+1\in \left[ 1;5 \right]$
Lại có: ${f}'\left( t \right)={{2}^{2t}}+2t{{.2}^{2t}}.\ln 2={{2}^{t}}\left( 1+2t.\ln 2 \right)>0,\forall t\in \left[ 1;5 \right]$ hay $f\left( t \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ 1;5 \right]$.
Khi đó: $f\left( 2{{x}^{2}}-2x+1 \right)=f\left( -{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+m-1 \right)\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-2x+1=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+m-1$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{x}^{2}}-2x+2=m\left( 2 \right)$.
Phương trình (1) có nghiệm $x\in \left[ 1;2 \right]$ phương trình (2) có nghiệm $x\in \left[ 1;2 \right]$
$\Leftrightarrow \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)\le m\le \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)$ với $g\left( x \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+2$
$\Leftrightarrow 2\le m\le 10$ hay $m\in \left\{ 2;3;4;5;6;7;8;9;10 \right\}$.
Vậy có 9 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$\Leftrightarrow \left( 2{{x}^{2}}-2x+1 \right){{.2}^{4{{x}^{2}}-4x+2}}=\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+m-1 \right){{.2}^{-2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2m-2}}$
$\Leftrightarrow f\left( 2{{x}^{2}}-2x+1 \right)=f\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+m-1 \right)$ với $f\left( t \right)=t{{.2}^{2t}}$.
Với $x\in \left[ 1;2 \right]\Rightarrow 2{{x}^{2}}-2x+1\in \left[ 1;5 \right]$
Lại có: ${f}'\left( t \right)={{2}^{2t}}+2t{{.2}^{2t}}.\ln 2={{2}^{t}}\left( 1+2t.\ln 2 \right)>0,\forall t\in \left[ 1;5 \right]$ hay $f\left( t \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ 1;5 \right]$.
Khi đó: $f\left( 2{{x}^{2}}-2x+1 \right)=f\left( -{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+m-1 \right)\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-2x+1=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+m-1$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{x}^{2}}-2x+2=m\left( 2 \right)$.
Phương trình (1) có nghiệm $x\in \left[ 1;2 \right]$ phương trình (2) có nghiệm $x\in \left[ 1;2 \right]$
$\Leftrightarrow \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)\le m\le \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)$ với $g\left( x \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+2$
$\Leftrightarrow 2\le m\le 10$ hay $m\in \left\{ 2;3;4;5;6;7;8;9;10 \right\}$.
Vậy có 9 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.