Cho phương trình $\left( 2\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x-2...

Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& {{3}^{x}}-m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& m\le {{3}^{x}} \\
\end{aligned} \right.$(*)
Ta có $\left( 2\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x-2 \right)\sqrt{{{3}^{x}}-m}=0 (1)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x-2=0\left( 2 \right) \\
& \sqrt{{{3}^{x}}-m}=0\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Trong đó $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}x=2 \\
& {{\log }_{2}}x=-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=4 \\
& x=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{aligned} \right.\left( 4 \right)$
Với $m>0$ thì ${{3}^{x}}=m\Leftrightarrow {{\log }_{3}}m=x$
Do đó, phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi xảy ra các trường hợp sau:
TH1: (3) có nghiệm $x={{\log }_{3}}m\le 0\Leftrightarrow 0<m\le 1$. Kết hợp điều kiện (*) và (4) ta được $m=1$ thì (1) có hai nghiệm phân biệt $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ và $x=4$
TH2: $m>1$ , khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow x\ge {{\log }_{3}}m>0$
Và do $4>\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ nên (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\le {{\log }_{3}}m<4$
$\Leftrightarrow {{3}^{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}}\le m<{{3}^{4}}$
Mà m nguyên dương nên ta có $m\in \left\{ 3, 4, ..., 80 \right\}$, có 78 giá trị của m
Vậy có 79 giá trị nguyên dương của m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt.