Cho phương trình ${{7}^{x}}+m={{\log }_{7}}\left( x-m \right)$ với...

ĐK: $x>m.$ Đặt $t={{\log }_{7}}\left( x-m \right)$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{7}^{x}}+m=t \\
& {{7}^{t}}+m=x \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{7}^{x}}+x={{7}^{t}}+t (1).$
Do hàm số $f\left( u \right)={{7}^{u}}+u$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow t=x.$ Khi đó:
${{7}^{x}}+m=x\Leftrightarrow m=x-{{7}^{x}}.$ Xét hàm số $g\left( x \right)=x-{{7}^{x}}\Rightarrow g'\left( x \right)=1-{{7}^{x}}\ln 7=0$ $\Leftrightarrow x=-{{\log }_{7}}\left( \ln 7 \right).$
Bảng biến thiên:
Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $m\le g\left( -{{\log }_{7}}\left( \ln 7 \right) \right)\approx -0,856$ (các nghiệm này đều thoả mãn điều kiện vì $x-m={{7}^{x}}>0$ ). Do m nguyên thuộc khoảng $\left( -25;25 \right)$ nên $m\in \left\{ -24;-16;...;-1 \right\}.$