Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{4}^{x}}+4=a{{.2}^{x}}{{\log }_{2}}\left( 2x-{{x}^{2}}+b \right)$. Có bao nhiêu bộ số $\left( a,b \right)$ thỏa mãn điều kiện $100a\in \mathbb{Z}$, $100b\in \mathbb{Z}$, $-100\le a,b\le 100$ sao cho phương trình có nghiệm duy nhất?
A. 15.
B. 6.
C. 3.
D. 4.
A. 15.
B. 6.
C. 3.
D. 4.
Ta có ${{4}^{x}}+4=a{{.2}^{x}}{{\log }_{2}}\left( 2x-{{x}^{2}}+b \right)\Leftrightarrow {{2}^{x}}+{{2}^{2-x}}=a{{\log }_{2}}\left( x\left( 2-x \right)+b \right)$.
Ta nhận thấy $x={{x}_{0}}$ là nghiệm thì $x=2-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm. Do đó để có nghiệm duy nhất thì ${{x}_{0}}=1$.
Khi đó thay vào ta được: $4=a{{\log }_{2}}\left( b+1 \right)\Leftrightarrow {{2}^{\dfrac{4}{a}}}=b+1$. Đặt $a=\dfrac{p}{100},b=\dfrac{q}{100}$ với $p,q\in \mathbb{Z}$.
Khi đó: ${{2}^{\dfrac{400}{p}}}=b+1=\dfrac{q}{100}+1$. Chú ý $\dfrac{q}{100}+1\in \mathbb{Q}$ nên $\dfrac{400}{p}\in \mathbb{Z}$. Ta có 2 tình huống:
Trường hợp 1: $\dfrac{400}{p}\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow p\in \left\{ 1;2;4;5;8;10;16;20;25;40;50;80;100;200;400 \right\}$.
Vì ${{2}^{\dfrac{400}{p}}}=b+1\le 101\Rightarrow \dfrac{400}{p}\le {{\log }_{2}}101\Rightarrow p\ge \dfrac{400}{{{\log }_{2}}101}\approx 60$ vậy $p\in \left\{ 80;100;200;400 \right\}$
Khi đó ta có: $\left( a,b \right)\in \left\{ \left( \dfrac{4}{5};31 \right);\left( 1;15 \right);\left( 2;3 \right);\left( 4;1 \right) \right\}$.
Với mỗi bộ số $\left( a,b \right)$ tương ứng đều có nghiệm duy nhất bởi vì ta có đánh giá:
${{2}^{x}}+{{2}^{2-x}}\ge 2\sqrt{{{2}^{x}}{{.2}^{2-x}}}=4=a{{\log }_{2}}\left( b+1 \right)\ge a{{\log }_{2}}\left( b+1-{{\left( x-1 \right)}^{2}} \right)$.
Trường hợp 2: Nếu $\dfrac{400}{p}\in {{\mathbb{Z}}^{-}}$ khi đó vế trái có dạng phân số với mẫu số có dạng lũy thừa của 2.
Vì vậy vế phải cũng phải như vậy tức là $q\vdots 25$.
Lại có khi đó $1>{{2}^{\dfrac{400}{p}}}=b+1=\dfrac{q}{100}+1>0\Rightarrow $ cho nên $q\in \left\{ -25;-50;-75 \right\}$.
Với $q=-25\Rightarrow {{2}^{\dfrac{400}{p}}}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow p\notin \mathbb{Z}$ (Loại).
Với $q=-50\Rightarrow {{2}^{\dfrac{400}{p}}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow p=-400\Rightarrow $
Khi đó: Dùng TABLE ta thấy có duy nhất 1 nghiệm x = 1.
Với $q=-75\Rightarrow {{2}^{\dfrac{400}{p}}}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow p=-200\Rightarrow $
Khi đó: ${{2}^{x}}+{{2}^{2-x}}=-4{{\log }_{2}}\left( x\left( 2-x \right)-\dfrac{1}{2} \right)$.
Dùng TABLE ta thấy có duy nhất 1 nghiệm x = 1.
Kết luận: Có tất cả 6 bộ số $\left( a,b \right)$ thỏa mãn điều kiện.
Ta nhận thấy $x={{x}_{0}}$ là nghiệm thì $x=2-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm. Do đó để có nghiệm duy nhất thì ${{x}_{0}}=1$.
Khi đó thay vào ta được: $4=a{{\log }_{2}}\left( b+1 \right)\Leftrightarrow {{2}^{\dfrac{4}{a}}}=b+1$. Đặt $a=\dfrac{p}{100},b=\dfrac{q}{100}$ với $p,q\in \mathbb{Z}$.
Khi đó: ${{2}^{\dfrac{400}{p}}}=b+1=\dfrac{q}{100}+1$. Chú ý $\dfrac{q}{100}+1\in \mathbb{Q}$ nên $\dfrac{400}{p}\in \mathbb{Z}$. Ta có 2 tình huống:
Trường hợp 1: $\dfrac{400}{p}\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow p\in \left\{ 1;2;4;5;8;10;16;20;25;40;50;80;100;200;400 \right\}$.
Vì ${{2}^{\dfrac{400}{p}}}=b+1\le 101\Rightarrow \dfrac{400}{p}\le {{\log }_{2}}101\Rightarrow p\ge \dfrac{400}{{{\log }_{2}}101}\approx 60$ vậy $p\in \left\{ 80;100;200;400 \right\}$
Khi đó ta có: $\left( a,b \right)\in \left\{ \left( \dfrac{4}{5};31 \right);\left( 1;15 \right);\left( 2;3 \right);\left( 4;1 \right) \right\}$.
Với mỗi bộ số $\left( a,b \right)$ tương ứng đều có nghiệm duy nhất bởi vì ta có đánh giá:
${{2}^{x}}+{{2}^{2-x}}\ge 2\sqrt{{{2}^{x}}{{.2}^{2-x}}}=4=a{{\log }_{2}}\left( b+1 \right)\ge a{{\log }_{2}}\left( b+1-{{\left( x-1 \right)}^{2}} \right)$.
Trường hợp 2: Nếu $\dfrac{400}{p}\in {{\mathbb{Z}}^{-}}$ khi đó vế trái có dạng phân số với mẫu số có dạng lũy thừa của 2.
Vì vậy vế phải cũng phải như vậy tức là $q\vdots 25$.
Lại có khi đó $1>{{2}^{\dfrac{400}{p}}}=b+1=\dfrac{q}{100}+1>0\Rightarrow $ cho nên $q\in \left\{ -25;-50;-75 \right\}$.
Với $q=-25\Rightarrow {{2}^{\dfrac{400}{p}}}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow p\notin \mathbb{Z}$ (Loại).
Với $q=-50\Rightarrow {{2}^{\dfrac{400}{p}}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow p=-400\Rightarrow $
Khi đó: Dùng TABLE ta thấy có duy nhất 1 nghiệm x = 1.
Với $q=-75\Rightarrow {{2}^{\dfrac{400}{p}}}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow p=-200\Rightarrow $
Khi đó: ${{2}^{x}}+{{2}^{2-x}}=-4{{\log }_{2}}\left( x\left( 2-x \right)-\dfrac{1}{2} \right)$.
Dùng TABLE ta thấy có duy nhất 1 nghiệm x = 1.
Kết luận: Có tất cả 6 bộ số $\left( a,b \right)$ thỏa mãn điều kiện.
Đáp án B.