Cho phương trình ${{3}^{x}}=\sqrt{a{{.3}^{x}}\cos \pi x-9}.$ Có...

Ta có ${{3}^{x}}=\sqrt{a{{.3}^{x}}\cos \left( \pi x \right)-9}\Leftrightarrow {{9}^{x}}=a{{.3}^{x}}cox\left( \pi x \right)-9$ (vì ${{3}^{x}}>0)$ $\Leftrightarrow {{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=a.\cos \left( \pi x \right)\left( * \right).$
Điều kiện cần: Nếu phương trình (*) có nghiệm duy nhất ${{x}_{0}}$ thì ta thấy rằng $2-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm của (*) do đó ${{x}_{0}}=2-{{x}_{0}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=1.$ Thay vào (*) ta được $a=-6.$
Điều kiện đủ: Ngược lại nếu $a=-6$ thì phương trình (*) trở thành ${{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=-6.\cos \left( \pi x \right)$
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: ${{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}\ge 2.\sqrt{{{3}^{x}}{{.3}^{2-x}}}=6$ mà $-6\cos \left( \pi x \right)\le 6$ do đó
${{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=-6\cos \left( \pi x \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=6 \\
& -6\cos \left( \pi x \right)=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}={{3}^{2-x}} \\
& \cos \left( \pi x \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=1$
Vậy có duy nhất $a=-6$ thoả yêu cầu bài toán.