Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{2}^{x}}+m={{\log }_{2}}\left( x-m \right)$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left( -18;18 \right)$ để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 9
B. 19
C. 17
D. 18
A. 9
B. 19
C. 17
D. 18
ĐK: $x>m$. Đặt $t={{\log }_{2}}\left( x-m \right)$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{x}}+m=t \\
& {{2}^{t}}+m=x \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{2}^{x}}+x={{2}^{t}}+t\left( 1 \right)$
Do hàm số $f\left( u \right)={{2}^{u}}+u$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên ta có (1) $\Leftrightarrow t=x$. Khi đó:
${{2}^{x}}+m=x\Leftrightarrow m=x-{{2}^{x}}$. Xét hàm số $g\left( x \right)=x-{{2}^{x}}\Rightarrow g'\left( x \right)=1-{{2}^{x}}\ln 2=0$
$\Leftrightarrow x=-{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)$
Bảng biến thiên
Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $m\le g\left( -{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right) \right)\approx -0,914$ ( các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện vì $x-m={{2}^{x}}>0$ )
Do m nguyên thuộc khoảng $\left( -18;18 \right)$, nên $m\in \left\{ -17;-16;...;-1 \right\}$
& {{2}^{x}}+m=t \\
& {{2}^{t}}+m=x \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{2}^{x}}+x={{2}^{t}}+t\left( 1 \right)$
Do hàm số $f\left( u \right)={{2}^{u}}+u$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên ta có (1) $\Leftrightarrow t=x$. Khi đó:
${{2}^{x}}+m=x\Leftrightarrow m=x-{{2}^{x}}$. Xét hàm số $g\left( x \right)=x-{{2}^{x}}\Rightarrow g'\left( x \right)=1-{{2}^{x}}\ln 2=0$
$\Leftrightarrow x=-{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)$
Bảng biến thiên
Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $m\le g\left( -{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right) \right)\approx -0,914$ ( các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện vì $x-m={{2}^{x}}>0$ )
Do m nguyên thuộc khoảng $\left( -18;18 \right)$, nên $m\in \left\{ -17;-16;...;-1 \right\}$
Đáp án C.