Google
Câu hỏi: Cho phương trình $2{{x}^{3}}\sqrt{6x+4m}.\left( 3x+2m+2 \right)=8{{x}^{6}}+20{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}+1$. Biết $\left( \dfrac{a}{b};+\infty \right)$,(a, b là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Khi đó ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ bằng
A. 5
B. 25
C. 10
D. 17
A. 5
B. 25
C. 10
D. 17
Đặt $y=\sqrt{6x+4m}\Rightarrow {{y}^{2}}=2\left( 3x+2m \right)$
Khi đó $2{{x}^{3}}.y\left( \dfrac{{{y}^{2}}}{2}+2 \right)=8{{x}^{6}}+20{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}+1\Leftrightarrow {{x}^{3}}{{y}^{3}}+4{{x}^{3}}y=8{{x}^{6}}+20{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}+1$
Do $x=0$ không phải nghiệm của phương trình chia 2 vế cho ${{x}^{3}}$ ta được:
${{y}^{3}}+4y=8{{x}^{3}}+20x+\dfrac{10}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}}\Leftrightarrow {{y}^{3}}+4y={{\left( 2x+\dfrac{1}{x} \right)}^{3}}+4\left( 2x+\dfrac{1}{x} \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+4t \left( t\in \mathbb{R} \right)$ suy ra ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+4>0 \left( \forall t\in \mathbb{R} \right)$
Do đó hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $f\left( y \right)=f\left( 2x+\dfrac{1}{x} \right)\Leftrightarrow y=2x+\dfrac{1}{x}$
Suy ra $\sqrt{6x+4m}=2x+\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& 6x+4m=4{{x}^{2}}+4+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& 4m=4{{x}^{2}}-6x+4+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}=g\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $g\left( x \right)$ với $x>0$ ta có ${g}'\left( x \right)=8x-\dfrac{2}{{{x}^{3}}}-6=0\Leftrightarrow 4{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}-1=0$
$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( 4{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1 \right)=0\xrightarrow{x>0}x=1$
Lại có $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty ; g\left( 1 \right)=3, \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty $
Suy ra phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt khi $4m>3\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{4}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25$.
Khi đó $2{{x}^{3}}.y\left( \dfrac{{{y}^{2}}}{2}+2 \right)=8{{x}^{6}}+20{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}+1\Leftrightarrow {{x}^{3}}{{y}^{3}}+4{{x}^{3}}y=8{{x}^{6}}+20{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}+1$
Do $x=0$ không phải nghiệm của phương trình chia 2 vế cho ${{x}^{3}}$ ta được:
${{y}^{3}}+4y=8{{x}^{3}}+20x+\dfrac{10}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}}\Leftrightarrow {{y}^{3}}+4y={{\left( 2x+\dfrac{1}{x} \right)}^{3}}+4\left( 2x+\dfrac{1}{x} \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+4t \left( t\in \mathbb{R} \right)$ suy ra ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+4>0 \left( \forall t\in \mathbb{R} \right)$
Do đó hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $f\left( y \right)=f\left( 2x+\dfrac{1}{x} \right)\Leftrightarrow y=2x+\dfrac{1}{x}$
Suy ra $\sqrt{6x+4m}=2x+\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& 6x+4m=4{{x}^{2}}+4+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& 4m=4{{x}^{2}}-6x+4+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}=g\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $g\left( x \right)$ với $x>0$ ta có ${g}'\left( x \right)=8x-\dfrac{2}{{{x}^{3}}}-6=0\Leftrightarrow 4{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}-1=0$
$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( 4{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1 \right)=0\xrightarrow{x>0}x=1$
Lại có $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty ; g\left( 1 \right)=3, \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty $
Suy ra phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt khi $4m>3\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{4}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25$.
Đáp án B.