Google
Câu hỏi: Cho parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}$ và một đường thẳng $d$ thay đổi cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm $A$, $B$ sao cho $AB=2018$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$. Tìm giá trị lớn nhất ${{S}_{max}}$ của $S.$
A. ${{S}_{max}}=\dfrac{{{2018}^{3}}+1}{6}$.
B. ${{S}_{max}}=\dfrac{{{2018}^{3}}}{3}$.
C. ${{S}_{max}}=\dfrac{{{2018}^{3}}-1}{6}$.
D. ${{S}_{max}}=\dfrac{{{2018}^{3}}}{3}$.
A. ${{S}_{max}}=\dfrac{{{2018}^{3}}+1}{6}$.
B. ${{S}_{max}}=\dfrac{{{2018}^{3}}}{3}$.
C. ${{S}_{max}}=\dfrac{{{2018}^{3}}-1}{6}$.
D. ${{S}_{max}}=\dfrac{{{2018}^{3}}}{3}$.
Giả sử $A(a; {{a}^{2}})$ ; $B(b; {{b}^{2}}) (b>a)$ sao cho $AB=2018$.
Phương trình đường thẳng $d$ là: $y=(a+b)x-ab$. Khi đó
$S=\int\limits_{a}^{b}{\left| (a+b)x-ab-{{x}^{2}} \right|\text{d}x}=\int\limits_{a}^{b}{\left( \left( a+b \right)x-ab-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}=\dfrac{1}{6}{{\left( b-a \right)}^{3}}$.
Vì $AB=2018\Leftrightarrow {{\left( b-a \right)}^{2}}+{{\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}^{2}}={{2018}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( b-a \right)}^{2}}\left( 1+{{\left( b+a \right)}^{2}} \right)={{2018}^{2}}$.
$\Rightarrow {{\left( b-a \right)}^{2}}\le {{2018}^{2}}$ $\Rightarrow \left| b-a \right|=b-a\le 2018\Rightarrow S\le \dfrac{{{2018}^{3}}}{6}$. Vậy ${{S}_{\max }}=\dfrac{{{2018}^{3}}}{6}$ khi $a=-1009$ và $b=1009$.
Phương trình đường thẳng $d$ là: $y=(a+b)x-ab$. Khi đó
$S=\int\limits_{a}^{b}{\left| (a+b)x-ab-{{x}^{2}} \right|\text{d}x}=\int\limits_{a}^{b}{\left( \left( a+b \right)x-ab-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}=\dfrac{1}{6}{{\left( b-a \right)}^{3}}$.
Vì $AB=2018\Leftrightarrow {{\left( b-a \right)}^{2}}+{{\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}^{2}}={{2018}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( b-a \right)}^{2}}\left( 1+{{\left( b+a \right)}^{2}} \right)={{2018}^{2}}$.
$\Rightarrow {{\left( b-a \right)}^{2}}\le {{2018}^{2}}$ $\Rightarrow \left| b-a \right|=b-a\le 2018\Rightarrow S\le \dfrac{{{2018}^{3}}}{6}$. Vậy ${{S}_{\max }}=\dfrac{{{2018}^{3}}}{6}$ khi $a=-1009$ và $b=1009$.
Đáp án D.