Cho Parabol $(P) : y = x^{2}$ và hai điểm A, B thuộc...

The Knowledge · 21/12/21

Câu hỏi: Cho Parabol

(P) : y = x^{2}

và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho

A B = 2.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng

A B

đạt giá trị lớn nhất bằng
A.

\frac{2}{3}

B.

\frac{3}{4}

C.

\frac{4}{3}

D.

\frac{3}{2}

Xét

A (a; a^{2}), B (b; b^{2})

với

a < b

.
Ta có

\vec{A B} = (b - a; b^{2} - a^{2}) \Rightarrow \vec{n_{A B}} = (a + b; - 1)

.

\begin{aligned} \Rightarrow A B : (a + b) (x - a) - (y - a^{2}) = 0 \\ \Rightarrow A B : y = (a + b) x - a b . \end{aligned}

Lại có

A B = 2 \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 4

.
Phương trình hoành độ giao điểm

x^{2} = (a + b) x - a b \Leftrightarrow x (x - a) - b (x - a) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = a \\ x = b \end{aligned}

.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

(P) : y = x^{2}

và đường thẳng AB là

\begin{aligned} S = \int_{a}^{b} | (x - a) (x - b) | d x = - \int_{a}^{b} (x - a) (x - b) d x = \int_{a}^{b} [(a + b) x - a b - x^{2}] d x \\ = [(a + b) . \frac{x^{2}}{2} - a b x - \frac{x^{3}}{3}] | \begin{aligned} ^{b} \\ _{a} \end{aligned} = \frac{1}{2} (a + b) (b^{2} - a^{2}) - a b (b - a) - \frac{1}{3} (b^{3} - a^{3}) \\ = (b - a) [\frac{1}{2} {(a + b)}^{2} - a b - \frac{1}{3} (a^{2} + a b + b^{2})] = (b - a) . \frac{3 {(a + b)}^{2} - 6 a b - 2 (a^{2} + a b + b^{2})}{6} \\ = \frac{1}{6} (b - a) (a^{2} + b^{2} - 2 a b) = \frac{1}{6} {(b - a)}^{3} . \end{aligned}

Từ

{(b - a)}^{2} + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 4 \Rightarrow {(b - a)}^{2} (1 + {(b + a)}^{2}) = 4 \Rightarrow {(b - a)}^{2} = \frac{4}{1 + {(b + a)}^{2}} \leq 4

\Rightarrow b - a \leq 2 \Rightarrow S = \frac{{(b - a)}^{3}}{6} \leq \frac{2^{3}}{6} = \frac{4}{3}

.
Dấu "=" xảy ra

\Leftrightarrow {\begin{aligned} a + b = 0 \\ b - a = 2 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} b = 1 \\ a = - 1 \end{aligned} \Rightarrow A (- 1; 1), B (1; 1)

.

Đáp án C.

Cho Parabol (P):y=x2 và hai điểm A, B thuộc...