Google
Câu hỏi: Cho parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}$ và đường tròn $\left( C \right)$ có tâm thuộc trục tung, bán kính $1$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right)$ và $\left( C \right)$ (phần bôi đậm trong hình vẽ bên) bằng
A. $\dfrac{14-3\sqrt{3}-2\pi }{12}$.
B. $\dfrac{2\pi +3\sqrt{3}-8}{12}$.
C. $\dfrac{4\pi -3\sqrt{3}}{12}$.
D. $\dfrac{9\sqrt{3}-4\pi }{12}$.
Gọi $A\left( a;{{a}^{2}} \right)\in \left( P \right)\left( a>0 \right)$ là điểm tiếp xúc của $\left( C \right),\left( P \right)$ nằm bên phải trục tung. Phương trình tiếp tuyến của $\left( P \right)$ tại điểm $A$ là ${{t}_{A}}:y=2a\left( x-a \right)+{{a}^{2}}$. Vì $\left( C \right),\left( P \right)$ tiếp xúc với nhau tại $A$ nên ${{t}_{A}}$ là tiếp tuyến chung tại $A$ của cả $\left( C \right),\left( P \right)$. Do đó $IA\bot {{t}_{A}}\Rightarrow IA:y=-\dfrac{1}{2a}\left( x-a \right)+{{a}^{2}}\Rightarrow I\left( 0;{{a}^{2}}+\dfrac{1}{2} \right)$.
Vì $IA=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}+\dfrac{1}{4}=1\Leftrightarrow a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( a>0 \right)\Rightarrow \left( C \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{5}{4} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow y=\dfrac{5}{4}\pm \sqrt{1-{{x}^{2}}}$.
Diện tích hình phẳng cần tính bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi
$\left\{ \begin{aligned}
& y={{x}^{2}} \\
& y=\dfrac{5}{4}-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \\
& x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2};x=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \int\limits_{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}^{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\left| {{x}^{2}}-\left( \dfrac{5}{4}-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right) \right|dx=\dfrac{9\sqrt{3}-4\pi }{12}}$.
B. $\dfrac{2\pi +3\sqrt{3}-8}{12}$.
C. $\dfrac{4\pi -3\sqrt{3}}{12}$.
D. $\dfrac{9\sqrt{3}-4\pi }{12}$.
Gọi $A\left( a;{{a}^{2}} \right)\in \left( P \right)\left( a>0 \right)$ là điểm tiếp xúc của $\left( C \right),\left( P \right)$ nằm bên phải trục tung. Phương trình tiếp tuyến của $\left( P \right)$ tại điểm $A$ là ${{t}_{A}}:y=2a\left( x-a \right)+{{a}^{2}}$. Vì $\left( C \right),\left( P \right)$ tiếp xúc với nhau tại $A$ nên ${{t}_{A}}$ là tiếp tuyến chung tại $A$ của cả $\left( C \right),\left( P \right)$. Do đó $IA\bot {{t}_{A}}\Rightarrow IA:y=-\dfrac{1}{2a}\left( x-a \right)+{{a}^{2}}\Rightarrow I\left( 0;{{a}^{2}}+\dfrac{1}{2} \right)$.
Vì $IA=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}+\dfrac{1}{4}=1\Leftrightarrow a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( a>0 \right)\Rightarrow \left( C \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{5}{4} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow y=\dfrac{5}{4}\pm \sqrt{1-{{x}^{2}}}$.
Diện tích hình phẳng cần tính bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi
$\left\{ \begin{aligned}
& y={{x}^{2}} \\
& y=\dfrac{5}{4}-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \\
& x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2};x=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \int\limits_{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}^{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\left| {{x}^{2}}-\left( \dfrac{5}{4}-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right) \right|dx=\dfrac{9\sqrt{3}-4\pi }{12}}$.
Đáp án D.