Google
Câu hỏi: Cho Parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}+1$ và đường thẳng $d:y=mx+2$ với $m$ là tham số. Gọi ${{m}_{0}}$ là giá trị của $m$ để diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right)$ và $d$ là nhỏ nhất. Hỏi ${{m}_{0}}$ nằm trong khoảng nào?
A. $(-\sqrt{2};-\dfrac{1}{2})$.
B. (0;1).
C. $(-1;\dfrac{1}{\sqrt{2}})$.
D. $(\dfrac{1}{2};3)$.
A. $(-\sqrt{2};-\dfrac{1}{2})$.
B. (0;1).
C. $(-1;\dfrac{1}{\sqrt{2}})$.
D. $(\dfrac{1}{2};3)$.
Phương trình hoành độ của $\left( P \right)$ và $d$ là ${{x}^{2}}-mx-1=0 \left( 1 \right)$.
Dễ thấy $\left( 1 \right)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt. Gọi $a, b \left( a<b \right)$ là các nghiệm của $\left( 1 \right)$ thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right)$ và $d$ là
$S=\int\limits_{a}^{b}{\left| {{x}^{2}}-mx-1 \right|dx}=\left| \int\limits_{a}^{b}{\left( {{x}^{2}}-mx-1 \right)dx} \right|=\left| \left. \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{m{{x}^{2}}}{2}-x \right) \right|_{a}^{b} \right|$
$=\left| \dfrac{{{b}^{3}}-{{a}^{3}}}{3}-\dfrac{m({{b}^{2}}-{{a}^{2}})}{2}-(b-a) \right|=\left| b-a \right|.\left| \dfrac{{{b}^{2}}+ab+{{a}^{2}}}{3}-\dfrac{m(b+a)}{2}-1 \right|$
= $\sqrt{{{\left( b+a \right)}^{2}}-4ab}.\left| \dfrac{{{\left( b+a \right)}^{2}}-ab}{3}-\dfrac{m\left( b+a \right)}{2}-1 \right|$
Mà $a+b=m, ab=-1$ nên $S=\sqrt{{{m}^{2}}+4}.\left( \dfrac{{{m}^{2}}}{6}+\dfrac{2}{3} \right)\ge \dfrac{4}{3}$.
Do đó $\min S=\dfrac{4}{3}$ khi $m=0$.
Dễ thấy $\left( 1 \right)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt. Gọi $a, b \left( a<b \right)$ là các nghiệm của $\left( 1 \right)$ thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right)$ và $d$ là
$S=\int\limits_{a}^{b}{\left| {{x}^{2}}-mx-1 \right|dx}=\left| \int\limits_{a}^{b}{\left( {{x}^{2}}-mx-1 \right)dx} \right|=\left| \left. \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{m{{x}^{2}}}{2}-x \right) \right|_{a}^{b} \right|$
$=\left| \dfrac{{{b}^{3}}-{{a}^{3}}}{3}-\dfrac{m({{b}^{2}}-{{a}^{2}})}{2}-(b-a) \right|=\left| b-a \right|.\left| \dfrac{{{b}^{2}}+ab+{{a}^{2}}}{3}-\dfrac{m(b+a)}{2}-1 \right|$
= $\sqrt{{{\left( b+a \right)}^{2}}-4ab}.\left| \dfrac{{{\left( b+a \right)}^{2}}-ab}{3}-\dfrac{m\left( b+a \right)}{2}-1 \right|$
Mà $a+b=m, ab=-1$ nên $S=\sqrt{{{m}^{2}}+4}.\left( \dfrac{{{m}^{2}}}{6}+\dfrac{2}{3} \right)\ge \dfrac{4}{3}$.
Do đó $\min S=\dfrac{4}{3}$ khi $m=0$.
Đáp án C.