Google
Câu hỏi: Cho $n$ và $k$ là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn $k\le n$, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $A_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!\left( n-k \right)!}$.
B. $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=C_{n}^{k}$ $\left( 1\le k\le n \right)$.
C. $C_{n}^{k-1}=C_{n}^{k}$ $\left( 1\le k\le n \right)$.
D. $C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{\left( n-k \right)!}$.
A. $A_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!\left( n-k \right)!}$.
B. $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=C_{n}^{k}$ $\left( 1\le k\le n \right)$.
C. $C_{n}^{k-1}=C_{n}^{k}$ $\left( 1\le k\le n \right)$.
D. $C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{\left( n-k \right)!}$.
Ta có $A_{n}^{k}=\dfrac{n!}{\left( n-k \right)!}$ nên khẳng định A sai.
$C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!\left( n-k \right)!}$ nên khẳng định D sai.
Với $n=4$ và $k=2$, ta có $C_{4}^{1}=4$, $C_{4}^{2}=6$ $\Rightarrow $ khẳng định C sai.
$C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=\dfrac{\left( n-1 \right)!}{\left( k-1 \right)!.\left[ \left( n-1 \right)-\left( k-1 \right) \right]!}+\dfrac{\left( n-1 \right)!}{k!.\left[ \left( n-1 \right)-k \right]!}$
$=\dfrac{\left( n-1 \right)!}{\left( k-1 \right)!.\left( n-k \right)!}+\dfrac{\left( n-1 \right)!}{k!.\left[ \left( n-k \right)-1 \right]!}=\dfrac{\left( n-1 \right)!}{\left( k-1 \right)!\left( n-k-1 \right)!}\cdot \left[ \dfrac{1}{n-k}+\dfrac{1}{k} \right]$
$=\dfrac{\left( n-1 \right)!.n}{\left( k-1 \right)!.k.\left( n-k-1 \right)!.\left( n-k \right)}=\dfrac{n!}{k!.\left( n-k \right)!}=C_{n}^{k}$. Vậy khẳng định B đúng.
$C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!\left( n-k \right)!}$ nên khẳng định D sai.
Với $n=4$ và $k=2$, ta có $C_{4}^{1}=4$, $C_{4}^{2}=6$ $\Rightarrow $ khẳng định C sai.
$C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=\dfrac{\left( n-1 \right)!}{\left( k-1 \right)!.\left[ \left( n-1 \right)-\left( k-1 \right) \right]!}+\dfrac{\left( n-1 \right)!}{k!.\left[ \left( n-1 \right)-k \right]!}$
$=\dfrac{\left( n-1 \right)!}{\left( k-1 \right)!.\left( n-k \right)!}+\dfrac{\left( n-1 \right)!}{k!.\left[ \left( n-k \right)-1 \right]!}=\dfrac{\left( n-1 \right)!}{\left( k-1 \right)!\left( n-k-1 \right)!}\cdot \left[ \dfrac{1}{n-k}+\dfrac{1}{k} \right]$
$=\dfrac{\left( n-1 \right)!.n}{\left( k-1 \right)!.k.\left( n-k-1 \right)!.\left( n-k \right)}=\dfrac{n!}{k!.\left( n-k \right)!}=C_{n}^{k}$. Vậy khẳng định B đúng.
Đáp án B.