Google
Câu hỏi: Cho $n$ và $k$ là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn $k\le n$ mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $C_{n}^{k-1}=C_{n}^{k} \left( 1\le k\le n \right)$.
B. $C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{\left( n-k \right)!}$.
C. $A_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!\left( n-k \right)!}$.
D. $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=C_{n}^{k}$.
A. $C_{n}^{k-1}=C_{n}^{k} \left( 1\le k\le n \right)$.
B. $C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{\left( n-k \right)!}$.
C. $A_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!\left( n-k \right)!}$.
D. $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=C_{n}^{k}$.
Dựa vào định nghĩa và công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp ta thấy:
$A_{n}^{k}=\dfrac{n!}{\left( n-k \right)!}$, $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k} \left( 1\le k\le n \right)$, $C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!\left( n-k \right)!}$ nên các đáp án A, C, D sai.
Ta có $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=\dfrac{\left( n-1 \right)!}{\left( k-1 \right)!\left( n-k \right)!}+\dfrac{\left( n-1 \right)!}{k!\left( n-k-1 \right)!}=\left( n-1 \right)!\left( \dfrac{n}{k!\left( n-k \right)!} \right)=\dfrac{n!}{k!\left( n-k \right)!}=C_{n}^{k}$.
$A_{n}^{k}=\dfrac{n!}{\left( n-k \right)!}$, $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k} \left( 1\le k\le n \right)$, $C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!\left( n-k \right)!}$ nên các đáp án A, C, D sai.
Ta có $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=\dfrac{\left( n-1 \right)!}{\left( k-1 \right)!\left( n-k \right)!}+\dfrac{\left( n-1 \right)!}{k!\left( n-k-1 \right)!}=\left( n-1 \right)!\left( \dfrac{n}{k!\left( n-k \right)!} \right)=\dfrac{n!}{k!\left( n-k \right)!}=C_{n}^{k}$.
Đáp án D.