Google
Câu hỏi: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{2}-3C_{n}^{1}=30$, trong đó $C_{n}^{k}$ là số tổ hợp chập k của n phần tử. Hệ số của ${{x}^{8}}$ trong khai triển biểu thức ${{\left( \dfrac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{n}}$ bằng
A. 495.
B. 549.
C. 945.
D. 954.
A. 495.
B. 549.
C. 945.
D. 954.
Ta có $C_{n}^{2}-3C_{n}^{1}=30\Leftrightarrow \dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}-3n=30\Leftrightarrow {{n}^{2}}-7n-60=0\Leftrightarrow n=12$ (thỏa mãn)
+ Với $n=12$, ta có khai triển của biểu thức ${{\left( \dfrac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{12}}$, số hạng tổng quát của khai triển này là $C_{12}^{k}{{\left( \dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{12-k}}{{\left( \sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{k}}=C_{12}^{k}{{x}^{\dfrac{11k}{2}-36}}$, với $k\in \mathbb{N}$ và $k\le 12$.
Số hạng này chứa ${{x}^{8}}$ khi và chỉ khi $\dfrac{11k}{2}-36=8\Leftrightarrow k=8$ ( thỏa mãn).
Vậy hệ số của ${{x}^{8}}$ trong khai triển biểu thức đã cho bằng $C_{12}^{8}=495.$
+ Với $n=12$, ta có khai triển của biểu thức ${{\left( \dfrac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{12}}$, số hạng tổng quát của khai triển này là $C_{12}^{k}{{\left( \dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{12-k}}{{\left( \sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{k}}=C_{12}^{k}{{x}^{\dfrac{11k}{2}-36}}$, với $k\in \mathbb{N}$ và $k\le 12$.
Số hạng này chứa ${{x}^{8}}$ khi và chỉ khi $\dfrac{11k}{2}-36=8\Leftrightarrow k=8$ ( thỏa mãn).
Vậy hệ số của ${{x}^{8}}$ trong khai triển biểu thức đã cho bằng $C_{12}^{8}=495.$
Đáp án A.