Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu tâm $O,$ bán kính $R.$ Xét mặt phẳng $P$ thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right).$ Hình nón $N$ có đỉnh $S$ nằm trên mặt cầu, đáy là đường tròn $\left( C \right)$ và có chiều cao h ( $h>R$ ). Giá trị của $h$ để thể tích khối nón được tạo nên bởi $\left( N \right)$ có giá trị lớn nhất là
A. $h=\sqrt{3}R.$
B. $h=\sqrt{2}R.$
C. $h=\dfrac{4}{3}R.$
D. $h=\dfrac{3}{2}R.$
A. $h=\sqrt{3}R.$
B. $h=\sqrt{2}R.$
C. $h=\dfrac{4}{3}R.$
D. $h=\dfrac{3}{2}R.$
Gọi bán kính $\left( C \right)$ với tâm là $I$ là $r$ thì dễ có $S$ phải thuộc $OI$ và:
$OI=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}\Rightarrow h=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}+R;$
$\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\left( \sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}+R \right)$
Tới đây ta sẽ khảo sát hàm số: $f\left( r \right)={{r}^{2}}\left( \sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}+R \right)$
${f}'\left( r \right)=2r\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}+2rR-\dfrac{{{r}^{3}}}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}};{f}'\left( r \right)=0\Leftrightarrow 2\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}+2R-\dfrac{{{r}^{2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}}=0$
$\Leftrightarrow 2\left( {{R}^{2}}-{{r}^{2}} \right)-{{r}^{2}}+2R\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{\left( 2{{R}^{2}}-3{{r}^{2}} \right)}^{2}}={{\left( 2R\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}=\dfrac{8}{9}{{R}^{2}}\Rightarrow h=\dfrac{4R}{3}.$
$OI=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}\Rightarrow h=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}+R;$
$\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\left( \sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}+R \right)$
Tới đây ta sẽ khảo sát hàm số: $f\left( r \right)={{r}^{2}}\left( \sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}+R \right)$
${f}'\left( r \right)=2r\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}+2rR-\dfrac{{{r}^{3}}}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}};{f}'\left( r \right)=0\Leftrightarrow 2\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}+2R-\dfrac{{{r}^{2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}}=0$
$\Leftrightarrow 2\left( {{R}^{2}}-{{r}^{2}} \right)-{{r}^{2}}+2R\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{\left( 2{{R}^{2}}-3{{r}^{2}} \right)}^{2}}={{\left( 2R\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}=\dfrac{8}{9}{{R}^{2}}\Rightarrow h=\dfrac{4R}{3}.$
Đáp án C.