Google
Câu hỏi: Cho $m={{\log }_{a}}\left( \sqrt[3]{ab} \right)$ với $a>1,b>1$ và $P=\log _{a}^{2}b+16{{\log }_{b}}a$. Tìm $m$ sao cho $P$ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. $m=\dfrac{1}{2}$.
B. $m=4$.
C. $m=1$.
D. $m=2$.
A. $m=\dfrac{1}{2}$.
B. $m=4$.
C. $m=1$.
D. $m=2$.
Theo giả thiết ta có $m=\dfrac{1}{3}{{\log }_{a}}\left( ab \right)=\dfrac{1}{3}\left( 1+{{\log }_{a}}b \right)\Rightarrow {{\log }_{a}}b=3m-1$
Suy ra $P=\log _{a}^{2}b+\dfrac{16}{{{\log }_{a}}b}\Leftrightarrow P={{\left( 3m-1 \right)}^{2}}+\dfrac{16}{3m-1}\Leftrightarrow P={{\left( 3m-1 \right)}^{2}}+\dfrac{8}{3m-1}+\dfrac{8}{3m-1}$.
Vì $a>1,b>1$ nên ${{\log }_{a}}b=3m-1>0$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có
$P={{\left( 3m-1 \right)}^{2}}+\dfrac{8}{3m-1}+\dfrac{8}{3m-1}\ge 3.\sqrt[3]{{{\left( 3m-1 \right)}^{2}}.\dfrac{64}{{{\left( 3m-1 \right)}^{2}}}}\Leftrightarrow P\ge 12$.
Dấu bằng xảy ra khi ${{\left( 3m-1 \right)}^{2}}=\dfrac{8}{3m-1}\Leftrightarrow m=1$.
Suy ra $P=\log _{a}^{2}b+\dfrac{16}{{{\log }_{a}}b}\Leftrightarrow P={{\left( 3m-1 \right)}^{2}}+\dfrac{16}{3m-1}\Leftrightarrow P={{\left( 3m-1 \right)}^{2}}+\dfrac{8}{3m-1}+\dfrac{8}{3m-1}$.
Vì $a>1,b>1$ nên ${{\log }_{a}}b=3m-1>0$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có
$P={{\left( 3m-1 \right)}^{2}}+\dfrac{8}{3m-1}+\dfrac{8}{3m-1}\ge 3.\sqrt[3]{{{\left( 3m-1 \right)}^{2}}.\dfrac{64}{{{\left( 3m-1 \right)}^{2}}}}\Leftrightarrow P\ge 12$.
Dấu bằng xảy ra khi ${{\left( 3m-1 \right)}^{2}}=\dfrac{8}{3m-1}\Leftrightarrow m=1$.
Đáp án C.