Google
Câu hỏi: Cho $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=\sqrt{3}{{x}^{2}}$ và nửa đường tròn có phương trình $y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}$ với $-2\le x\le 2$ (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của $\left( H \right)$ bằng
A. $\dfrac{2\pi +5\sqrt{3}}{3}.$
B. $\dfrac{4\pi +5\sqrt{3}}{3}.$
C. $\dfrac{4\pi +\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{2\pi +\sqrt{3}}{3}.$
A. $\dfrac{2\pi +5\sqrt{3}}{3}.$
B. $\dfrac{4\pi +5\sqrt{3}}{3}.$
C. $\dfrac{4\pi +\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{2\pi +\sqrt{3}}{3}.$
Phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm là $x=\pm 1.$ Do đó diện tích cần tìm là
$S=\int\limits_{-1}^{1}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}-\sqrt{3}{{x}^{2}} \right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}-\int\limits_{-1}^{1}{\sqrt{3}{{x}^{2}}dx}=I-\dfrac{2\sqrt{3}}{3},$ với $I=\int\limits_{-1}^{1}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}$
Để tính $I$ đặt $x=2\sin t\Rightarrow dx=2\cos tdt.$
Nên $I=\int\limits_{-\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{6}}{4{{\cos }^{2}}tdt}=\left( 2t-\sin 2t \right)\left| \begin{aligned}
& \dfrac{\pi }{6} \\
& -\dfrac{\pi }{6} \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{2\pi }{3}+\sqrt{3}.$
Do đó $S=\dfrac{2\pi +\sqrt{3}}{3}.$
$S=\int\limits_{-1}^{1}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}-\sqrt{3}{{x}^{2}} \right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}-\int\limits_{-1}^{1}{\sqrt{3}{{x}^{2}}dx}=I-\dfrac{2\sqrt{3}}{3},$ với $I=\int\limits_{-1}^{1}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}$
Để tính $I$ đặt $x=2\sin t\Rightarrow dx=2\cos tdt.$
Nên $I=\int\limits_{-\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{6}}{4{{\cos }^{2}}tdt}=\left( 2t-\sin 2t \right)\left| \begin{aligned}
& \dfrac{\pi }{6} \\
& -\dfrac{\pi }{6} \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{2\pi }{3}+\sqrt{3}.$
Do đó $S=\dfrac{2\pi +\sqrt{3}}{3}.$
Đáp án D.